Seja dada por . Determine a e b de maneira que f seja diferenciável. (Justifique a sua escolha através das derivadas laterais).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função [f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) definida de duas maneiras:
Queremos encontrar os valores de para que a função seja diferenciável em todo o seu domínio. Isso significa que deve ser contínua em e que as derivadas pela esquerda e pela direita nesse ponto devem ser iguais. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em x = 1 . Isso significa que o valor da função à esquerda de 1 deve ser igual ao valor à direita de 1.
Calculamos f(1) usando a segunda parte da definição (já que x >= 1 ):
f(1) = 1 + a cdot 1 + b cdot 1^2 = 1 + a + b
Agora, calculamos o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda, usando a primeira parte da definição:
limx to 1^- f(x) = e^1-1 = e^0 = 1
Para a função ser contínua em x = 1 , devemos ter:
1 + a + b = 1
Isso simplifica para:
a + b = 0 (Equação 1) çã
Passo 3
Agora, precisamos garantir que a função seja diferenciável em x = 1 . Para isso, as derivadas pela esquerda e pela direita em x = 1 devem ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada da parte x < 1 :
f'(x) = ddx e^x-1 = e^x-1
Então, a derivada pela esquerda em x = 1 é:
limx to 1^- f'(x) = e^1-1 = e^0 = 1
Agora, calculamos a derivada da parte x >= 1 :
f'(x) = ddx (1 + a x + b x^2) = a + 2b x
A derivada pela direita em x = 1 é:
f'(1) = a + 2b cdot 1 = a + 2b
Para a função ser diferenciável, devemos ter:
a + 2b = 1 (Equação 2) çã
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 0 (Equação 1) a + 2b = 1 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar a em termos de b :
a = -b
Substituímos a = -b na Equação 2:
(-b) + 2b = 1 b = 1
Agora, substituímos b = 1 na Equação 1:
a + 1 = 0 a = -1
Resposta
Os valores que tornam f diferenciável são a = -1 e b = 1 .