ln(y/x) - 1 = c * y

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A equação que você me deu é:
Estamos lidando com logaritmos naturais e uma incógnita . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar o valor de em termos de e . Para isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e técnicas de resolução de equações que envolvem funções transcendentes.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o logaritmo para facilitar a resolução. Podemos somar 1 em ambos os lados da equação para ficar:
Isso deixa o logaritmo sozinho de um lado da igualdade.

Passo 3

Agora, para eliminar o logaritmo natural, vamos usar a função exponencial, que é a função inversa do logaritmo natural. Aplicando , temos:
Lembrando que , então simplificamos o lado esquerdo:

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados por para isolar :
Agora, temos em ambos os lados da equação, o que significa que precisamos de uma abordagem diferente para resolver isso.

Passo 5

Essa equação é do tipo , onde e . Para resolver equações onde a incógnita está no expoente, usamos a função de Lambert, também conhecida como -função. A solução geral para é:

Passo 6

Aplicando isso à nossa equação, temos:
Então:
A função é a função de Lambert, que é a solução para equações onde a variável aparece no expoente e multiplicando a função exponencial.

Resposta

A solução da equação é:
Onde representa a função de Lambert.

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