Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
f(x)=x^{2}+2-e^{x};

Passo 1

O enunciado pede: localizar os zeros reais da função
f(x)=x^{2}+2-e^{x}.
Informações dadas:
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é encontrar os valores de x reais que satisfazem f(x)=0, ou seja:
x^{2}+2=e^{x}.

Passo 2

Vamos primeiro verificar se existem raízes reais e quantas podem ser, usando comportamento nos extremos e continuidade.
  1. Comportamento quando x\to -\infty: \,x^{2}\to+\infty e e^{x}\to 0. Logo
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\bigl(x^{2}+2-e^{x}\bigr)=+\infty.
  1. Comportamento quando x\to +\infty: e^{x} cresce muito mais rápido que x^{2}, então
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\bigl(x^{2}+2-e^{x}\bigr)=-\infty.
Como f é contínua (soma de polinômio e exponencial), pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um ponto c\in\mathbb{R} tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe pelo menos uma raiz real.

Passo 3

Agora mostramos que a raiz é única, estudando a monotonicidade de f.
Calcule a derivada:
f'(x)=2x-e^{x}.
Para saber o sinal de f', considere a função auxiliar
g(x)=e^{x}-2x.
Temos g'(x)=e^{x}-2. Como g'(x)=0 só quando e^{x}=2, isto é em x=\ln 2. Assim g tem um mínimo em x=\ln 2. Avaliando g nesse ponto:
g(\ln 2)=e^{\ln 2}-2\ln 2=2-2\ln 2=2(1-\ln 2).
Sabendo que \ln 2\approx 0,693, tem-se 1-\ln 2\approx 0,307>0, logo g(\ln 2)>0. Como g(\ln 2) é o mínimo de g e esse mínimo é positivo, deduzimos g(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto e^{x}-2x>0 sempre, isto implica
f'(x)=2x-e^{x}<0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Assim f é estritamente decrescente em toda a reta real. Uma função contínua e estritamente monótona só pode ter uma única raiz. Concluímos: existe exatamente uma raiz real.

Passo 4

Agora vamos encontrar numericamente essa única raiz. Primeiro fazemos uma localização por tentativas simples (bissecção rápida):
Calcule alguns valores:
f(0)=0^{2}+2-e^{0}=2-1=1>0,
f(1)=1+2-e^{1}=3-e\approx 3-2,7182818\approx 0,2817182>0,
f(2)=4+2-e^{2}=6-e^{2}\approx 6-7,3890561\approx -1,3890561<0.
Como f(1)>0 e f(2)<0, a raiz está em (1,2).
Refinando:
f(1,5)=1{,}5^{2}+2-e^{1{,}5}=2{,}25+2-e^{1{,}5}\approx4{,}25-4{,}4816891\approx -0{,}2316891<0,
logo a raiz está em (1,1{,}5).
Mais uma bisecção:
f(1{,}25)=1{,}25^{2}+2-e^{1{,}25}\approx1{,}5625+2-3{,}49034296\approx0{,}0721570>0,
logo a raiz está em (1{,}25,1{,}5).
Continuando a bisecção:
f(1{,}3125)\approx 1{,}3125^{2}+2-e^{1{,}3125}\approx 3{,}72265625-e^{1{,}3125}.
(Usa-se aqui e^{1{,}3125} calculado por série ou tabela; numericamente obtém-se e^{1{,}3125}\approx 3{,}7209, dando f(1{,}3125)\approx 0{,}0018>0.)
E
f(1{,}34375)\approx 1{,}34375^{2}+2-e^{1{,}34375}\approx 3{,}80566406-e^{1{,}34375}\approx -0{,}0336<0.
Portanto a raiz está em (1{,}3125,1{,}34375). Já é um intervalo pequeno; para maior precisão usamos um método rápido de convergência (Newton).

Passo 5

Explicação e aplicação do Método de Newton (para quem não lembra): dado f diferenciável e uma aproximação inicial x_{0}, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Isto aproxima a raiz com rapidez quadrática quando x_{0} está razoavelmente perto.
Pegamos x_{0}=1{,}314 (dentro do intervalo obtido). Calculamos (valores aproximados com arredondamento controlado):
  1. Avaliar f(x_{0}) e f'(x_{0}):
f(1{,}314)=1{,}314^{2}+2-e^{1{,}314}\approx 3{,}726596 - 3{,}721026 \approx 0{,}00557,
f'(1{,}314)=2\cdot1{,}314-e^{1{,}314}\approx 2{,}628 - 3{,}721026 \approx -1{,}093026.
  1. Aplicando Newton:
x_{1}=1{,}314-\frac{0{,}00557}{-1{,}093026}\approx 1{,}314+0{,}00510\approx 1{,}31910.
  1. Avaliando f em x_{1}=1{,}31910:
f(1{,}31910)\approx 1{,}31910^{2}+2-e^{1{,}31910}\approx 3{,}7400142-3{,}7400045\approx 9{,}7\times10^{-6},
valor já praticamente zero (erro de ordem 10^{-5}). Uma segunda iteração daria convergência ainda melhor, mas já temos precisão suficiente para a maioria das provas.

Passo 6

Conclusões práticas:
  • A função f tem exatamente uma raiz real.
  • A raiz única, aproximada por Newton/Bissecção, é
x\approx 1{,}319096\\ (\text{aprox. }1{,}3191).

Resposta

x\approx 1,319096

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