Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: localizar os zeros reais da função
Informações dadas:
- A função está definida para todo
. - O objetivo é encontrar os valores de
reais que satisfazem , ou seja:
Passo 2
Vamos primeiro verificar se existem raízes reais e quantas podem ser, usando comportamento nos extremos e continuidade.
- Comportamento quando
: e . Logo
- Comportamento quando
: cresce muito mais rápido que , então
Como
é contínua (soma de polinômio e exponencial), pelo Teorema do Valor Intermediário existe ao menos um ponto
tal que
. Ou seja, existe pelo menos uma raiz real.
Passo 3
Agora mostramos que a raiz é única, estudando a monotonicidade de
.
Calcule a derivada:
Para saber o sinal de
, considere a função auxiliar
Temos
. Como
só quando
, isto é em
. Assim
tem um mínimo em
. Avaliando
nesse ponto:
Sabendo que
, tem-se
, logo
. Como
é o mínimo de
e esse mínimo é positivo, deduzimos
para todo
. Portanto
sempre, isto implica
Assim
é estritamente decrescente em toda a reta real. Uma função contínua e estritamente monótona só pode ter uma única raiz. Concluímos: existe exatamente uma raiz real.
Passo 4
Agora vamos encontrar numericamente essa única raiz. Primeiro fazemos uma localização por tentativas simples (bissecção rápida):
Calcule alguns valores:
Como
e
, a raiz está em
.
Refinando:
logo a raiz está em
.
Mais uma bisecção:
logo a raiz está em
.
Continuando a bisecção:
(Usa-se aqui
calculado por série ou tabela; numericamente obtém-se
, dando
.)
E
Portanto a raiz está em
. Já é um intervalo pequeno; para maior precisão usamos um método rápido de convergência (Newton).
Passo 5
Explicação e aplicação do Método de Newton (para quem não lembra): dado
diferenciável e uma aproximação inicial
, a iteração de Newton é
Isto aproxima a raiz com rapidez quadrática quando
está razoavelmente perto.
Pegamos
(dentro do intervalo obtido). Calculamos (valores aproximados com arredondamento controlado):
- Avaliar
e :
- Aplicando Newton:
- Avaliando
em :
valor já praticamente zero (erro de ordem
). Uma segunda iteração daria convergência ainda melhor, mas já temos precisão suficiente para a maioria das provas.
Passo 6
Conclusões práticas:
- A função
tem exatamente uma raiz real. - A raiz única, aproximada por Newton/Bissecção, é