O número 38.75 está na base 10 , encontre sua representação na base 2 .

Passo 1

O enunciado dá o número 38,75 (base 10) e pede a sua representação em base 2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O número decimal é 38,75.
  • Podemos separar esse número em parte inteira e parte fracionária:
    • parte inteira: 38
    • parte fracionária: 0,75
O que precisa ser encontrado:
  • A escrita de 38,75 na base 2 (ou seja, os dígitos binários que representam a parte inteira e a parte fracionária).

Passo 2

Converter a parte inteira 38 para binário usando divisões sucessivas por 2.
Explicação do método (aula rápida): para converter um inteiro N em base 2, divide-se N por 2, anota-se o resto (que será 0 ou 1), e repete-se com o quociente até o quociente ser zero. Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), formam os dígitos binários do número, do mais significativo para o menos significativo.
Aplicando o método a 38:
\begin{array}{l} 38 \div 2 = 19\\ \text{com resto}\\\ 0\\[4pt] 19 \div 2 = 9\\ \text{com resto}\\\ 1\\[4pt] 9 \div 2 = 4\\ \text{com resto}\\\ 1\\[4pt] 4 \div 2 = 2\\ \text{com resto}\\\ 0\\[4pt] 2 \div 2 = 1\\ \text{com resto}\\\ 0\\[4pt] 1 \div 2 = 0\\ \text{com resto}\\\ 1 \end{array}
Agora lemos os restos de baixo para cima: 1,0,0,1,1,0. Logo, a parte inteira em binário é 100110.
Pequena verificação (como checar na prova): calcular o valor decimal de 100110_2:
1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=32+0+0+4+2+0=38.
Confere com a parte inteira original.]

Passo 3

Converter a parte fracionária 0,75 para binário usando multiplicações por 2.
Explicação do método (aula rápida): para converter uma fração f (onde 0\le f<1) para base 2, multiplica-se f por 2. A parte inteira do resultado ( 0 ou 1) é o próximo dígito binário após a vírgula; a nova fração é a parte fracionária de 2f. Repetir até a fração tornar-se 0 ou até obter precisão suficiente.
Aplicando a 0,75:
\begin{array}{l} 0,75\times 2 = 1,50\quad\Rightarrow\\ \text{dígito} = 1,\\ \text{nova fração}=0,50\\[4pt] 0,50\times 2 = 1,00\quad\Rightarrow\\ \text{dígito} = 1,\\ \text{nova fração}=0,00 \end{array}íçãíçã
A sequência de dígitos fracionários obtida é 1,1. Como a nova fração ficou 0, o processo termina. Então a parte fracionária em binário é ,11.
Verificação rápida: calcular o valor decimal de 0,11_2:
1\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}= \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=0,5+0,25=0,75.
Confere com a parte fracionária original.]

Passo 4

Juntar parte inteira e parte fracionária binárias.
  • Parte inteira: 100110
  • Parte fracionária: ,11
Portanto a representação binária completa é 100110,11_2.
Para confirmar de vez (checar na prova) somamos os termos em potência de 2:
100110,11_2 = 1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0} + 1\cdot 2^{-1}+1\cdot 2^{-2}
=32+4+2 + 0,5+0,25 =38+0,75 =38,75.
Confirma-se que a conversão está correta.

Resposta

100110,11_2

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