Se localizarmos um elétron dentro de 20 p m, então qual é a incerteza em sua velocidade?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a incerteza na velocidade de um elétron quando sua posição é conhecida com precisão de \Delta x = 20\\ \mathrm{pm}. Informação fornecida: \Delta x = 20\\ \mathrm{pm}. Não há outras informações no enunciado, então usaremos constantes físicas conhecidas (constante reduzida de Planck e massa do elétron).

Passo 2

Princípio da incerteza de Heisenberg que vamos usar: ele relaciona a incerteza na posição \Delta x com a incerteza no momento \Delta p pela desigualdade
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida. Explicando: \Delta x é a margem de erro na posição (em metros) e \Delta p é a margem de erro no momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}). Essa é a forma usual mínima da incerteza quântica — ela nos dá um limite inferior para \Delta p dado \Delta x.

Passo 3

Converter \Delta x para unidades SI (metros). Pico metro é 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}. Assim,
\Delta x = 20\\ \mathrm{pm} = 20\times 10^{-12}\\ \mathrm{m} = 2{,}0\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Isolar \Delta p da desigualdade e avaliar o menor valor possível (limite inferior):
\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Usaremos os valores numéricos (valores padrão):
\hbar = 1{,}0545718\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, \qquad m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Agora calculamos \Delta p:
\Delta p \ge \frac{1{,}0545718\times 10^{-34}}{2\cdot 2{,}0\times 10^{-11}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 5

Fazer a conta de \Delta p passo a passo:
o denominador é 2\cdot 2{,}0\times10^{-11}=4{,}0\times10^{-11}.
Então
\Delta p \ge \frac{1{,}0545718\times10^{-34}}{4{,}0\times10^{-11}} = \left(\frac{1{,}0545718}{4{,}0}\right)\times10^{-34-(-11)} = 0{,}26364295\times10^{-23} = 2{,}6364295\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 6

Relacionar \Delta p com \Delta v. Para velocidades não-relativísticas (ou seja, quando v é muito menor que a velocidade da luz), o momento é p=m_e v e a incerteza no momento se relaciona com a incerteza na velocidade por
\Delta p \approx m_e\,\Delta v.
Explicando: usamos aproximação clássica p=mv porque vamos checar depois que a velocidade obtida é pequena diante de c. Assim
\Delta v \ge \frac{\Delta p}{m_e}.

Passo 7

Calcular numericamente \Delta v usando \Delta p obtido e m_e:
\Delta v \ge \frac{2{,}6364295\times10^{-24}}{9{,}10938356\times10^{-31}}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
\Delta v \ge 2{,}8945\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação da hipótese não-relativística: comparar com c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
\frac{\Delta v}{c}\approx \frac{2{,}9\times10^{6}}{3{,}0\times10^{8}}\approx 9{,}6\times10^{-3}\approx 0{,}96\%.
Como é muito menor que 100\%, a aproximação não-relativística é válida.

Resposta

\Delta v \gtrsim 2{,}9\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}

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