A principal suposição de Planck era que as energias dos osciladores eletrônicos podem ter somente os valores
e que
. Conforme
, então
e
tornasse essencialmente continua. Assim, devemos esperar que a distribuição não clássica de Planck vá para a clássica distribuição Rayleigh-Jeans em baixas frequências, onde
. Mostre que a equação (1) se reduz à equação (2).
Dica: Lembre que
, ou
quando
é pequeno.
Passo 1
O enunciado dá duas expressões para a densidade espectral de energia por frequência
e pede para mostrar que a fórmula de Planck se reduz à fórmula clássica de Rayleigh–Jeans quando as energias quantizadas se tornam essencialmente contínuas (isto é, quando
ou equivalentemente quando
). As expressões dadas são:
e
Informações relevantes fornecidas:
-
é a frequência da radiação. -
é a temperatura absoluta. -
é a constante de Boltzmann. -
é a constante de Planck. -
é a velocidade da luz no vácuo. - Dica: usar a expansão em série exponencial
, e a aproximação quando é pequeno.
Passo 2
Vamos trabalhar a partir da fórmula de Planck (a segunda dada) e tomar o limite de baixas frequências. A ideia matemática é expandir o denominador
para frequências pequenas usando a série de Taylor da exponencial. O parâmetro pequeno será
Explicar o porquê: quando
temos
, ou seja, o quantum de energia
é muito menor que a energia térmica típica
— nesse caso as energias parecem contínuas e esperamos recuperar o comportamento clássico.
Passo 3
Pequena aula sobre a expansão da exponencial (série de Taylor) e validade:
- A série de Taylor em torno de
é
- Se
é pequeno (por exemplo ou muito menor), os termos são desprezíveis comparados com e . Assim
- No nosso caso
. A condição significa exatamente . Fisicamente: muitos estados térmicos ocupados e a energia discreta é pequena comparada com a escala térmica — volta o comportamento clássico.
Passo 4
Aplicando a aproximação
ao denominador da fórmula de Planck, com
, temos:
Portanto, no regime
podemos substituir o denominador por
.
Passo 5
Agora fazemos a substituição na fórmula de Planck e simplificamos passo a passo. Partimos de
Com a aproximação do passo anterior o membro direito torna-se
Escrevendo claramente a divisão por uma fração e simplificando:
Multiplicando pelo prefator
obtemos
Os
se cancelam:
E isso é exatamente a fórmula de Rayleigh–Jeans fornecida no enunciado.
Passo 6
Comentário sobre a condição de validade e intuição física:
- A derivação válida quando
, ou seja
- Exemplo numérico (para intuição): para
temos e (alguns THz). Frequências muito menores que esse valor estão no regime onde a aproximação é boa, e então a distribuição de Planck cai na forma clássica de Rayleigh–Jeans. - Fisicamente: quando os “passos” de energia
são muito pequenos diante da energia térmica disponível, o sistema se comporta como se tivesse energia contínua por modo, e a equipartição clássica (que leva ao termo ) aparece.