A principal suposição de Planck era que as energias dos osciladores eletrônicos podem ter somente os valores E=n h \nu e que \Delta E=h \nu. Conforme \nu \rightarrow 0, então \Delta E \rightarrow 0 e E tornasse essencialmente continua. Assim, devemos esperar que a distribuição não clássica de Planck vá para a clássica distribuição Rayleigh-Jeans em baixas frequências, onde \Delta E \rightarrow 0. Mostre que a equação (1) se reduz à equação (2).
\begin{gathered} d \rho(\nu, T)=\rho_{\nu}(T) d \nu=\frac{8 \pi k_{B} T}{c^{3}} \nu^{2} d \nu \\\ d \rho(\nu, T)=\rho_{\nu}(T) d \nu=\frac{8 \pi h}{c^{3}} \frac{\nu^{3} d \nu}{e^{h \nu / k_{B} T}-1} \end{gathered}
Dica: Lembre que e^{x}=1+x+\left(x^{2} / 2!\right)+\cdots, ou e^{x} \approx 1+x quando x é pequeno.

Passo 1

O enunciado dá duas expressões para a densidade espectral de energia por frequência \nu e pede para mostrar que a fórmula de Planck se reduz à fórmula clássica de Rayleigh–Jeans quando as energias quantizadas se tornam essencialmente contínuas (isto é, quando \nu \rightarrow 0 ou equivalentemente quando h\nu \ll k_{B}T). As expressões dadas são:
d\rho(\nu,T)=\rho_{\nu}(T)\,d\nu=\frac{8\pi k_{B}T}{c^{3}}\,\nu^{2}\,d\nu
e
d\rho(\nu,T)=\rho_{\nu}(T)\,d\nu=\frac{8\pi h}{c^{3}}\frac{\nu^{3}\,d\nu}{e^{h\nu/(k_{B}T)}-1}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \nu é a frequência da radiação.
  • T é a temperatura absoluta.
  • k_{B} é a constante de Boltzmann.
  • h é a constante de Planck.
  • c é a velocidade da luz no vácuo.
  • Dica: usar a expansão em série exponencial e^{x}=1+x+\left(x^{2}/2!\right)+\cdots, e a aproximação e^{x}\approx 1+x quando x é pequeno.

Passo 2

Vamos trabalhar a partir da fórmula de Planck (a segunda dada) e tomar o limite de baixas frequências. A ideia matemática é expandir o denominador e^{h\nu/(k_{B}T)}-1 para frequências pequenas usando a série de Taylor da exponencial. O parâmetro pequeno será
x \equiv \frac{h\nu}{k_{B}T}.
Explicar o porquê: quando x\ll 1 temos h\nu \ll k_{B}T, ou seja, o quantum de energia h\nu é muito menor que a energia térmica típica k_{B}T — nesse caso as energias parecem contínuas e esperamos recuperar o comportamento clássico.

Passo 3

Pequena aula sobre a expansão da exponencial (série de Taylor) e validade:
  • A série de Taylor em torno de x=0 é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
  • Se x é pequeno (por exemplo x\lesssim 0{,}1 ou muito menor), os termos x^{2}/2!,x^{3}/3!,\dots são desprezíveis comparados com 1 e x. Assim
e^{x}\approx 1+x.
  • No nosso caso x=\dfrac{h\nu}{k_{B}T}. A condição x\ll 1 significa exatamente h\nu\ll k_{B}T. Fisicamente: muitos estados térmicos ocupados e a energia discreta \Delta E=h\nu é pequena comparada com a escala térmica — volta o comportamento clássico.

Passo 4

Aplicando a aproximação e^{x}\approx 1+x ao denominador da fórmula de Planck, com x=\dfrac{h\nu}{k_{B}T}, temos:
e^{h\nu/(k_{B}T)}-1 \approx \left(1+\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1 = \frac{h\nu}{k_{B}T}.
Portanto, no regime h\nu\ll k_{B}T podemos substituir o denominador por \dfrac{h\nu}{k_{B}T}.

Passo 5

Agora fazemos a substituição na fórmula de Planck e simplificamos passo a passo. Partimos de
d\rho(\nu,T)=\frac{8\pi h}{c^{3}}\frac{\nu^{3}\,d\nu}{e^{h\nu/(k_{B}T)}-1}.
Com a aproximação do passo anterior o membro direito torna-se
\frac{8\pi h}{c^{3}}\frac{\nu^{3}\,d\nu}{\dfrac{h\nu}{k_{B}T}}.
Escrevendo claramente a divisão por uma fração e simplificando:
\frac{\nu^{3}}{\dfrac{h\nu}{k_{B}T}}=\nu^{3}\cdot\frac{k_{B}T}{h\nu}=\frac{k_{B}T}{h}\,\nu^{2}.
Multiplicando pelo prefator \dfrac{8\pi h}{c^{3}} obtemos
\frac{8\pi h}{c^{3}}\cdot\frac{k_{B}T}{h}\,\nu^{2}\,d\nu.
Os h se cancelam:
\frac{8\pi \cancel{h}}{c^{3}}\cdot\frac{k_{B}T}{\cancel{h}}\,\nu^{2}\,d\nu=\frac{8\pi k_{B}T}{c^{3}}\,\nu^{2}\,d\nu.
E isso é exatamente a fórmula de Rayleigh–Jeans fornecida no enunciado.

Passo 6

Comentário sobre a condição de validade e intuição física:
  • A derivação válida quando x=\dfrac{h\nu}{k_{B}T}\ll 1, ou seja
\nu \ll \frac{k_{B}T}{h}.
  • Exemplo numérico (para intuição): para T=300\\ \text{K} temos k_{B}T\approx 4{,}14\times 10^{-21}\\ \text{J} e \dfrac{k_{B}T}{h}\approx 6{,}25\times 10^{12}\\ \text{Hz} (alguns THz). Frequências muito menores que esse valor estão no regime onde a aproximação é boa, e então a distribuição de Planck cai na forma clássica de Rayleigh–Jeans.
  • Fisicamente: quando os “passos” de energia h\nu são muito pequenos diante da energia térmica disponível, o sistema se comporta como se tivesse energia contínua por modo, e a equipartição clássica (que leva ao termo k_{B}T) aparece.

Resposta

d\rho(\nu,T)=\frac{8\pi k_{B}T}{c^{3}}\,\nu^{2}\,d\nu

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