Os operadores mecânico-quânticos são lineares sendo assim, realize as seguintes:
a) \hat{A}(2 x), onde \hat{A}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede-se para calcular \hat{A}(2x).\n
  • Foi dada a definição do operador \hat{A}: \displaystyle \hat{A}=\frac{d^{2}}{d x^{2}}.\n
  • Informação importante (implícita): operadores diferenciais como \dfrac{d}{dx} e \dfrac{d^{2}}{dx^{2}} são lineares — isto será usado.\n

Passo 2

O que significa linearidade e por que ela vale aqui (explicação didática):\n
  • Um operador \hat{A} é linear se, para qualquer função f(x), qualquer função g(x) e qualquer escalar c, vale\n \hat{A}\big(c\,f(x)+g(x)\big)=c\,\hat{A}\big(f(x)\big)+\hat{A}\big(g(x)\big).\n
  • No caso de derivadas, a linearidade é fácil de ver: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada. Ou seja,\n \frac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big)=c\,\frac{d}{dx}f(x)\n
e aplicando novamente,\n \frac{d^{2}}{dx^{2}}\big(c\,f(x)\big)=c\,\frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x).\n
  • Conclusão prática: para o nosso problema podemos puxar o escalar 2 para fora do operador: \hat{A}(2x)=2\,\hat{A}(x).\n

Passo 3

Aplicando a linearidade ao caso concreto:\n
  • Usando o resultado anterior temos\n \hat{A}(2x)=2\,\hat{A}(x)=2\,\frac{d^{2}}{dx^{2}}x.\n

Passo 4

Calcule \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}x passo a passo (para você poder reproduzir na prova sem pulos):\n
  • Primeiro, a derivada primeira de x é\n \frac{d}{dx}x=1,\n
porque a inclinação da função f(x)=x é constante e igual a 1.\n
  • Depois, a derivada da constante 1 é\n \frac{d}{dx}1=0.\n
  • Logo,\n \frac{d^{2}}{dx^{2}}x=0.\n

Passo 5

Combine os resultados para obter a resposta final:\n
  • Como \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}x=0, temos\n \hat{A}(2x)=2\cdot 0=0.\n
  • (Verificação alternativa rápida: derivando diretamente \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}(2x) \dfrac{d}{dx}(2)=0, mesma resposta.)\n

Resposta

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