Os operadores mecânico-quânticos são lineares sendo assim, realize as seguintes:
a)
, onde
a)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
- Pede-se para calcular
.\n - Foi dada a definição do operador
: .\n - Informação importante (implícita): operadores diferenciais como
e são lineares — isto será usado.\n
Passo 2
O que significa linearidade e por que ela vale aqui (explicação didática):\n
- Um operador
é linear se, para qualquer função , qualquer função e qualquer escalar , vale\n \n - No caso de derivadas, a linearidade é fácil de ver: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada. Ou seja,\n
\n
e aplicando novamente,\n
\n
- Conclusão prática: para o nosso problema podemos puxar o escalar
para fora do operador: .\n
Passo 3
Aplicando a linearidade ao caso concreto:\n
- Usando o resultado anterior temos\n
\n
Passo 4
Calcule
passo a passo (para você poder reproduzir na prova sem pulos):\n
- Primeiro, a derivada primeira de
é\n \n
porque a inclinação da função
é constante e igual a
.\n
- Depois, a derivada da constante
é\n \n - Logo,\n
\n
Passo 5
Combine os resultados para obter a resposta final:\n
- Como
, temos\n \n - (Verificação alternativa rápida: derivando diretamente
dá , mesma resposta.)\n