Localize a primeira raiz não-trivial de sen x=x^3, onde x está em radianos. Use uma técnica gráfica e a bissecção com o intervalo inicial de 0,5 a 1. Faça os cálculos até que varepsilona seja menor do que varepsilons=2 %

Passo 1

Tá rolando o seguinte: a gente quer encontrar a primeira raiz não-trivial da equação
sin x = x^3
em radianos, usando uma técnica gráfica pra “achar” onde a raiz fica e depois o método da bissecção no intervalo inicial . O critério de parada é quando o erro relativo aproximado ficar menor que .
Matéria: métodos numéricos para solução de equações não-lineares (bissecção). Vamos precisar de:
- Definir a função .
- Saber que, se e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em .
- Aplicar o método da bissecção e calcular .

Passo 2

Primeiro, a parte gráfica (bem simplificada):
  1. Definimos f(x)=sin x - x^3
    2. Avaliamos nas pontas do intervalo:
    -
    -
    3. Como os sinais são opostos ( em e em ), por Bolzano existe raiz em .

Passo 3

Agora o método da bissecção (teoria rápida: cortamos o intervalo ao meio, escolhemos a sub-parte onde varepsilona=l|0,875-0,750,875r|times100%approx14,29% muda de sinal, e repetimos até o erro ficar pequeno).
Iterações:
  1. varepsilona=l|0,9375-0,8750,9375r|times100%approx6,67%.
    • varepsilona=l|0,90625-0,93750,90625r|times100%approx3,45%.
    • Sinal de varepsilona=l|0,921875-0,906250,921875r|times100%approx1,70% é positivo, então nova “base” é .
    • Sem erro anterior pra calcular ainda.
  2. .
    • .
    • Mantém intervalo .
    • Erro aproximado:
  3. .
    • .
    • Agora o sinal é negativo, então intervalo fica .
    • Erro:
  4. .
    • .
    • Intervalo vira .
    • Erro:
  5. .
    • .
    • Intervalo agora .
    • Erro:

Passo 4

Chegamos em , então parámos por aqui.

Resposta

A primeira raiz não-trivial de boxedx approx 0,921875 no intervalo , obtida pela bissecção até erro relativo abaixo de , é aproximadamente

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