Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Eourier diretas ou inversas dos seguintes sinais:
X(j omega)=j dd omegae^j 2 omega1+j omega

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o sinal no domínio do tempo x(t) cuja Transformada de Fourier é
X(jomega)=j,ddomega!l[e^j2omega1+jomegar]
Os conteúdos que vamos usar são:
  1. A propriedade de derivação em frequência, que diz que
j,dX(jomega)domega long<=ftrightarrow t,x(t)
  1. A tabela básica de pares de Fourier, em particular
11+jomegalong<=ftrightarrow e^-tu(t),
e a propriedade de deslocamento no tempo que diz que multiplicar X(jomega) por e^jomega t0 corresponde a deslocar x(t) para x(t+t0).

Passo 2

Identificamos dentro de X(jomega) a função
E(jomega)=e^j2omega1+jomega
Logo
X(jomega)=j,ddomegaE(jomega)
Pela propriedade de derivação em frequência, se E(jomega) tem transformada inversa e(t), então
j,dE(jomega)domegalong<=ftrightarrow t,e(t)
Assim, uma vez achado e(t), bastará multiplicar por t para obter x(t).

Passo 3

Vamos achar e(t)=F^-1E(jomega). Primeiro note que
11+jomegalong<=ftrightarrow e^-tu(t)
Depois, a multiplicação de 11+jomega por e^j2omega corresponde a aplicar a propriedade de deslocamento no tempo com t0=2, ou seja,
E(jomega)=e^j2omega,11+jomega Long<=ftrightarrow e(t)=e^-tu(t);|,tto t+2 =e^-(t+2),u(t+2)

Passo 4

Agora que sabemos que
E(jomega)long<=ftrightarrow e(t)=e^-(t+2),u(t+2),
pela propriedade de derivação em frequência concluímos que
X(jomega) =j,dE(jomega)domega long<=ftrightarrow t;e(t) = t,e^-(t+2),u(t+2)

Resposta

x(t)=t,e^-(t+2),u(t+2)

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