Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
f(x, y)=2 x^{2}+8 x y+y^{4}

Passo 1

O enunciado pede que a gente localize todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
f(x,y)=2x^{2}+8xy+y^{4}.
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de f(x,y). Precisamos encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero ou não existe) e, em cada ponto crítico, determinar a natureza (mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela). Não há figura nem outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). Lembre-se: a derivada parcial em relação a [x) trata y como constante, e vice-versa.
Calculemos
\frac{\partial f}{\partial x}=f_x,
\frac{\partial f}{\partial y}=f_y.
Derivando termo a termo:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(2x^{2}+8xy+y^{4}\big)=4x+8y,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(2x^{2}+8xy+y^{4}\big)=8x+4y^{3}.
Pontos críticos satisfazem o sistema
\begin{cases} 4x+8y=0,\\[4pt] 8x+4y^{3}=0. \end{cases}
Da primeira equação temos 4x+8y=0\Rightarrow x=-2y\]. Substituindo na segunda: \[8(-2y)+4y^{3}=0 \Rightarrow -16y+4y^{3}=0.\] Fatorando: \[4y(y^{2}-4)=0 \Rightarrow y=0 \quad\text{ou}\quad y^{2}=4\Rightarrow y=\pm 2.\] Correspondentes \(x: se y=0 então x=-2\cdot0=0. Se y=2 então x=-4. Se y=-2 então x=4.
Logo, os pontos críticos são
(0,0),\;(-4,2),\;(4,-2).]

Passo 3

Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Vamos usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Explico: formamos a matriz das derivadas parciais segundas
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[6pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}, f_{yy}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}. A regra prática em duas variáveis: calcule o determinante
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo relativo.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo relativo.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas a partir de f_x e f_y:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(4x+8y)=4,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(4x+8y)=8,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(8x+4y^{3})=12y^{2}.
Portanto
H(x,y)=\begin{pmatrix}4 & 8\\[4pt]8 & 12y^{2}\end{pmatrix}, \qquad D(x,y)=4\cdot 12y^{2}-8^{2}=48y^{2}-64.]

Passo 4

Aplique o teste em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0): aqui y=0, então
f_{xx}=4,\quad f_{yy}=12\cdot 0^{2}=0,\quad f_{xy}=8,
D(0,0)=48\cdot 0 -64 = -64 <0.
Como D<0, (0,0) é um ponto de sela.
  1. Em (-4,2): aqui y=2, então
f_{xx}=4,\quad f_{yy}=12\cdot 2^{2}=48,\quad f_{xy}=8,
D(-4,2)=48\cdot 4 -64 =192-64=128>0.
Como D>0 e f_{xx}=4>0, (-4,2) é um mínimo relativo.
  1. Em (4,-2): aqui y=-2, mas y^{2}=4 então f_{yy}=48 novamente, e f_{xx}=4, f_{xy}=8. Assim
D(4,-2)=128>0,\quad f_{xx}=4>0,
logo (4,-2) é também um mínimo relativo.
Vamos calcular os valores de f nesses pontos (útil para comparar):
f(0,0)=0,
f(-4,2)=2\cdot(-4)^{2}+8(-4)(2)+2^{4}=32-64+16=-16,
f(4,-2)=2\cdot 4^{2}+8(4)(-2)+(-2)^{4}=32-64+16=-16.

Passo 5

Uma observação extra (útil na prova): determinar se esses mínimos relativos são globais. Faço uma reescrita de f completando quadrado em x:
f(x,y)=2x^{2}+8xy+y^{4}=2\big(x^{2}+4xy\big)+y^{4}=2\big((x+2y)^{2}-4y^{2}\big)+y^{4}.
Assim
f(x,y)=2(x+2y)^{2}+y^{4}-8y^{2}=2(x+2y)^{2}+y^{2}(y^{2}-8).
Para um y fixo, o termo 2(x+2y)^{2}\ge 0 é mínimo quando x=-2y. Então o menor valor possível para f em cada linha y= constante é
g(y)=y^{4}-8y^{2}=y^{2}(y^{2}-8).
Definindo u=y^{2}\ge 0, temos g(u)=u^{2}-8u, que é um quadrático em u com vértice em u=4, e valor mínimo
g_{\min}=4^{2}-8\cdot 4=-16.
Atinge esse valor quando u=4, ou seja y=\pm 2, e então x=-2y dá exatamente os pontos (-4,2) e (4,-2). Portanto os mínimos relativos que encontramos têm valor -16 e são, na verdade, mínimos globais. Não existe máximo global finito (porque f(x,y)\to +\infty quando |y|\to\infty por causa do termo y^{4}).

Passo 6

Resumo da classificação: temos dois mínimos (relativos e globais) em (-4,2) e (4,-2) com f=-16; um ponto de sela em (0,0) com f=0; não há máximos relativos.

Resposta

Mínimos relativos (e globais): (-4,2) e (4,-2), ambos com f=-16
Ponto de sela: (0,0)
Máximos relativos: nenhum

Exercícios relacionados