Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver:
Passo 1
O enunciado pede que a gente localize todos os máximos relativos, mínimos relativos e pontos de sela da função
Informações dadas que vamos usar: a expressão explícita de
. Precisamos encontrar os pontos críticos (onde o gradiente é zero ou não existe) e, em cada ponto crítico, determinar a natureza (mínimo relativo, máximo relativo ou ponto de sela). Não há figura nem outras condições adicionais.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular as derivadas parciais de primeira ordem (o gradiente). Lembre-se: a derivada parcial em relação a [x) trata
como constante, e vice-versa.
Calculemos
Derivando termo a termo:
Pontos críticos satisfazem o sistema
Da primeira equação temos
: se
então
. Se
então
. Se
então
.
Logo, os pontos críticos são
Passo 3
Agora precisamos classificar cada ponto crítico. Vamos usar o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana). Explico: formamos a matriz das derivadas parciais segundas
onde
,
e
. A regra prática em duas variáveis: calcule o determinante
- Se
e então mínimo relativo. - Se
e então máximo relativo. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as derivadas segundas a partir de
e
:
Portanto
Passo 4
Aplique o teste em cada ponto crítico:
- Em
: aqui , então
Como
,
é um ponto de sela.
- Em
: aqui , então
Como
e
,
é um mínimo relativo.
- Em
: aqui , mas então novamente, e , . Assim
logo
é também um mínimo relativo.
Vamos calcular os valores de
nesses pontos (útil para comparar):
Passo 5
Uma observação extra (útil na prova): determinar se esses mínimos relativos são globais. Faço uma reescrita de
completando quadrado em
:
Assim
Para um
fixo, o termo
é mínimo quando
. Então o menor valor possível para
em cada linha
constante é
Definindo
, temos
, que é um quadrático em
com vértice em
, e valor mínimo
Atinge esse valor quando
, ou seja
, e então
dá exatamente os pontos
e
. Portanto os mínimos relativos que encontramos têm valor
e são, na verdade, mínimos globais. Não existe máximo global finito (porque
quando
por causa do termo
).
Passo 6
Resumo da classificação: temos dois mínimos (relativos e globais) em
e
com
; um ponto de sela em
com
; não há máximos relativos.
Resposta
Mínimos relativos (e globais):
e
, ambos com
Ponto de sela:
Máximos relativos: nenhum
Ponto de sela:
Máximos relativos: nenhum