Use integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado dentro dos parabolóides abaixo:
z_{1}=x^{2}+y \in z_{2}=3-2 x^{2}-2 y^{2}
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede o volume do sólido limitado entre elas, ou seja, a região onde a superfície superior é z_{2} e a inferior é z_{1}. Dados do enunciado:
z_{1}=x^{2}+y
z_{2}=3-2x^{2}-2y^{2}
O que se pede:
Calcular o volume do sólido formado por todos os pontos (x,y,z) tais que
z_{1}\le z\le z_{2}
ou seja integrar z_{2}-z_{1} sobre a projeção no plano xy onde z_{2}\ge z_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A projeção no plano xy é a região R definida por
x^{2}+y \le 3-2x^{2}-2y^{2}.
Essa desigualdade define a região onde o sólido existe; precisamos transformar essa condição para coordenadas adequadas (coordenadas cilíndricas/polares, como solicitado) e montar a integral tripla (reduzida a uma integral dupla sobre R do integrando z_{2}-z_{1}).
Passo 2
Transformar a condição da projeção R para uma forma mais conveniente. Começo por manipular a desigualdade em x,y:
x^{2}+y \le 3-2x^{2}-2y^{2}
Coloco todos os termos no mesmo lado:
3x^{2}+2y^{2}+y-3 \le 0.
Agora completo o quadrado em y para reconhecer a curva como uma elipse deslocada. Escrevo 2y^{2}+y como
Explico a estratégia para usar coordenadas cilíndricas (polares) de maneira prática: como a elipse está deslocada em y, é muito conveniente primeiro transladar o sistema de coordenadas no plano xy para centrar a elipse na origem e depois aplicar uma escala que transforme a elipse em círculo; só então uso coordenadas polares (isto é, coordenadas cilíndricas no plano xy). As etapas concretas:
Tradução vertical para centralizar a elipse. Defino variáveis novas
u = x,\qquad v = y+\tfrac{1}{4}.
Observação: essa tradução tem jacobiano igual a 1 (área preservada).
Em termos de u,v a condição da elipse fica
3u^{2}+2v^{2} \le \tfrac{25}{8}.
Também escrevo a diferença das superfícies z_{2}-z_{1} em u,v. Substituo x=u e y=v-\tfrac{1}{4} nas expressões:
0\le r^{2}\le \tfrac{25}{8}\quad\Rightarrow\quad 0\le r \le R=\sqrt{\tfrac{25}{8}}=\tfrac{5}{\sqrt{8}}=\tfrac{5\sqrt{2}}{4}.
O elemento de área d\alpha\,d\beta em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta. Lembrando o fator de escala obtido acima, o elemento de área original dx\,dy (ou du\,dv) é
du\,dv=\frac{1}{\sqrt{6}}\,r\,dr\,d\theta.
O volume pedido é a integral dupla da diferença z_{2}-z_{1} sobre a projeção R:
Expliquei: o \tfrac{25}{8}-r^{2} vem de \tfrac{25}{8}-(\alpha^{2}+\beta^{2}) e \alpha^{2}+\beta^{2}=r^{2}. O fator \tfrac{1}{\sqrt{6}} é do jacobiano da escala; o r é o jacobiano polar.
Passo 6
Calculo a integral passo a passo. Primeiro faço a integral em r: