Use integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume do sólido limitado dentro dos parabolóides abaixo:
z_{1}=x^{2}+y \in z_{2}=3-2 x^{2}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede o volume do sólido limitado entre elas, ou seja, a região onde a superfície superior é z_{2} e a inferior é z_{1}. Dados do enunciado:
  • z_{1}=x^{2}+y
  • z_{2}=3-2x^{2}-2y^{2}
O que se pede:
  • Calcular o volume do sólido formado por todos os pontos (x,y,z) tais que
z_{1}\le z\le z_{2}
ou seja integrar z_{2}-z_{1} sobre a projeção no plano xy onde z_{2}\ge z_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A projeção no plano xy é a região R definida por
x^{2}+y \le 3-2x^{2}-2y^{2}.
  • Essa desigualdade define a região onde o sólido existe; precisamos transformar essa condição para coordenadas adequadas (coordenadas cilíndricas/polares, como solicitado) e montar a integral tripla (reduzida a uma integral dupla sobre R do integrando z_{2}-z_{1}).

Passo 2

Transformar a condição da projeção R para uma forma mais conveniente. Começo por manipular a desigualdade em x,y:
x^{2}+y \le 3-2x^{2}-2y^{2}
Coloco todos os termos no mesmo lado:
3x^{2}+2y^{2}+y-3 \le 0.
Agora completo o quadrado em y para reconhecer a curva como uma elipse deslocada. Escrevo 2y^{2}+y como
2y^{2}+y = 2\!\left(y^{2}+\tfrac{1}{2}y\right) =2\!\left[\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{16}\right] =2\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{8}.
Substituindo na desigualdade:
3x^{2}+2\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2}-\tfrac{1}{8}-3 \le 0.
Rearranjando os termos constantes:
3x^{2}+2\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2} \le 3+\tfrac{1}{8}=\tfrac{25}{8}.
Portanto a projeção R é a elipse centrada em \left(0,-\tfrac{1}{4}\right) dada por
3x^{2}+2\left(y+\tfrac{1}{4}\right)^{2} \le \tfrac{25}{8}.

Passo 3

Explico a estratégia para usar coordenadas cilíndricas (polares) de maneira prática: como a elipse está deslocada em y, é muito conveniente primeiro transladar o sistema de coordenadas no plano xy para centrar a elipse na origem e depois aplicar uma escala que transforme a elipse em círculo; só então uso coordenadas polares (isto é, coordenadas cilíndricas no plano xy). As etapas concretas:
  1. Tradução vertical para centralizar a elipse. Defino variáveis novas
u = x,\qquad v = y+\tfrac{1}{4}.
Observação: essa tradução tem jacobiano igual a 1 (área preservada).
  1. Em termos de u,v a condição da elipse fica
3u^{2}+2v^{2} \le \tfrac{25}{8}.
  1. Também escrevo a diferença das superfícies z_{2}-z_{1} em u,v. Substituo x=u e y=v-\tfrac{1}{4} nas expressões:
z_{1}=u^{2}+v-\tfrac{1}{4},
z_{2}=3-2u^{2}-2\left(v-\tfrac{1}{4}\right)^{2}.
Faço as contas da diferença:
z_{2}-z_{1}= \bigg(3-2u^{2}-2\left(v-\tfrac{1}{4}\right)^{2}\bigg)-\bigg(u^{2}+v-\tfrac{1}{4}\bigg).
Explicando os passos de álgebra (não pulei etapas):
-2\left(v-\tfrac{1}{4}\right)^{2}=-2\left(v^{2}-\tfrac{1}{2}v+\tfrac{1}{16}\right)=-2v^{2}+v-\tfrac{1}{8}.
Então
z_{2}=3-2u^{2}-2v^{2}+v-\tfrac{1}{8}.
Subtraindo z_{1}:
z_{2}-z_{1} = \left(3-2u^{2}-2v^{2}+v-\tfrac{1}{8}\right)-\left(u^{2}+v-\tfrac{1}{4}\right).
Os termos em v se cancelam: v-(v)=0. Agrupando constantes:
3-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{4} = 3+\tfrac{1}{8}=\tfrac{25}{8}.
E os termos em u^{2},v^{2} dão -2u^{2}-u^{2}=-3u^{2} e -2v^{2}. Logo
z_{2}-z_{1} = \tfrac{25}{8} - 3u^{2} - 2v^{2}.
Isso é ótimo: a diferença ficou numa forma quadrática centrada em (u,v)=(0,0).

Passo 4

Agora faço uma escala linear para transformar a elipse em círculo. Defino as variáveis escaladas
\alpha = \sqrt{3}\,u,\qquad \beta = \sqrt{2}\,v.
Com essa mudança a fronteira 3u^{2}+2v^{2}=\tfrac{25}{8} vira
\alpha^{2}+\beta^{2}=\tfrac{25}{8}.
O jacobiano (determinante da transformação (u,v)\mapsto(\alpha,\beta)) vale
\left|\frac{\partial(u,v)}{\partial(\alpha,\beta)}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Portanto o elemento de área transforma-se como
du\,dv=\frac{1}{\sqrt{6}}\,d\alpha\,d\beta.
Também expresso z_{2}-z_{1} em \alpha,\beta. Lembrando que u=\alpha/\sqrt{3} e v=\beta/\sqrt{2},
3u^{2}+2v^{2}=\alpha^{2}+\beta^{2}.
Assim
z_{2}-z_{1}=\tfrac{25}{8}-(\alpha^{2}+\beta^{2}).

Passo 5

Agora uso coordenadas polares sobre as coordenadas escaladas (\alpha,\beta). Chamo as coordenadas polares padrão de (r,\theta):
\alpha = r\cos\theta,\qquad \beta = r\sin\theta,\qquad r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi).
Nesse sistema a região projeção torna-se o disco
0\le r^{2}\le \tfrac{25}{8}\quad\Rightarrow\quad 0\le r \le R=\sqrt{\tfrac{25}{8}}=\tfrac{5}{\sqrt{8}}=\tfrac{5\sqrt{2}}{4}.
O elemento de área d\alpha\,d\beta em coordenadas polares é r\,dr\,d\theta. Lembrando o fator de escala obtido acima, o elemento de área original dx\,dy (ou du\,dv) é
du\,dv=\frac{1}{\sqrt{6}}\,r\,dr\,d\theta.
O volume pedido é a integral dupla da diferença z_{2}-z_{1} sobre a projeção R:
V=\iint_{R} \big(z_{2}-z_{1}\big)\,dA.
Transformando para (r,\theta) conforme acima:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\tfrac{25}{8}-r^{2}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}\,r\,dr\,d\theta.
Expliquei: o \tfrac{25}{8}-r^{2} vem de \tfrac{25}{8}-(\alpha^{2}+\beta^{2}) e \alpha^{2}+\beta^{2}=r^{2}. O fator \tfrac{1}{\sqrt{6}} é do jacobiano da escala; o r é o jacobiano polar.

Passo 6

Calculo a integral passo a passo. Primeiro faço a integral em r:
\int_{0}^{R}\left(\tfrac{25}{8}-r^{2}\right)r\,dr = \int_{0}^{R}\left(\tfrac{25}{8}r - r^{3}\right)dr.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{R}\tfrac{25}{8}r\,dr = \tfrac{25}{8}\cdot \frac{R^{2}}{2} = \tfrac{25}{16}R^{2},
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4}.
Logo a integral em r vale
\tfrac{25}{16}R^{2} - \tfrac{1}{4}R^{4}.
Como R^{2}=\tfrac{25}{8} e R^{4}=\left(\tfrac{25}{8}\right)^{2}=\tfrac{625}{64}, substituo:
\tfrac{25}{16}\cdot \tfrac{25}{8} - \tfrac{1}{4}\cdot \tfrac{625}{64} = \tfrac{625}{128} - \tfrac{625}{256} = \tfrac{625}{256}.
Agora incluo o fator angular e o fator 1/\sqrt{6}:
V=\frac{1}{\sqrt{6}}\int_{0}^{2\pi}\left(\tfrac{625}{256}\right)d\theta =\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot \tfrac{625}{256}\cdot 2\pi.
Multiplicando:
V=\frac{625\cdot 2\pi}{256\sqrt{6}}=\frac{1250\pi}{256\sqrt{6}}.
Simplificando a fração por 2:
V=\frac{625\pi}{128\sqrt{6}}.

Resposta

V=\dfrac{625\pi}{128\sqrt{6}}

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