A locomotiva de um trem de passageiros com 16 vagões e massa total de
produz uma força de 53 kN para puxar o trem com velocidade constante de
um trilho horizontal. Qual é a potência adicional fornecida para o primeiro vagão além da calculada no item (a) necessária para fazer o trem subir uma inclinação de
(ângulo de inclinação
) com velocidade constante de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma locomotiva puxando um trem de passageiros com 16 vagões. A massa total do trem é de
e a força que a locomotiva aplica é de 53 kN para manter o trem se movendo a uma velocidade constante de 45 m/s em um trilho horizontal. Agora, a pergunta é: qual é a potência adicional que a locomotiva precisa fornecer para iniciar a subida de uma inclinação de 1,5% mantendo a mesma velocidade de 45 m/s?
Vamos precisar usar conceitos de força, potência e entender como a inclinação afeta o trabalho da locomotiva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma inclinação de 1,5%. Isso quer dizer que, para cada 100 metros percorridos horizontalmente, o trem sobe 1,5 metros. Essa inclinação cria uma componente da força gravitacional que a locomotiva precisa vencer para manter o trem em movimento constante.
Passo 3
Para calcular a potência adicional necessária, precisamos encontrar a força adicional que a locomotiva precisa exercer para subir a inclinação. Essa força adicional é a componente da força gravitacional na direção da subida.
A fórmula para essa força é:
onde:
- $ m = 9,1 \times 10^{5} \mathrm{~kg} $ (massa total do trem),
- $ g = 9,81 \mathrm{~m/s^2} $ (aceleração da gravidade),
- $ \alpha $ é o ângulo de inclinação, que podemos aproximar usando $ \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha) $ para pequenos ângulos.
Sabemos que a inclinação é de 1,5%, então:
Portanto:
Passo 4
Vamos calcular $ F_{adicional} $:
Isso significa que a locomotiva precisa exercer uma força adicional de aproximadamente 133,8 kN para subir a inclinação.
Passo 5
Agora, para encontrar a potência adicional necessária, usamos a fórmula da potência:
onde:
- $ F $ é a força adicional,
- $ v = 45 \mathrm{~m/s} $ é a velocidade constante.
Então:
Convertendo para megawatts (MW):
Resposta
A potência adicional necessária para a locomotiva subir uma inclinação de 1,5% mantendo a velocidade de 45 m/s é de aproximadamente 6,02 megawatts (MW).