Resolva as seguintes equações:
\log _{2}\left(\log _{3}(x-1)\right)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log_{2}\!\big(\log_{3}(x-1)\big)=2.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão envolve logaritmos aninhados: primeiro \log_{3}(x-1) e depois \log_{2}(\cdot).
  • Para que a equação faça sentido, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos (isso vem da definição de logaritmo).

Passo 2

Analisando o domínio (condições de existência) passo a passo.
Regra: o logaritmo \log_{a}(t) está definido somente para t>0 (quando a>0 e a\neq1, que é o caso de a=2 e a=3).
Aplicando ao nosso problema:
  • O argumento interno é x-1. Para \log_{3}(x-1) existir é preciso
x-1>0 \quad\Rightarrow\quad x>1.
  • Além disso, esse valor \log_{3}(x-1) é o argumento de \log_{2}(\cdot), então precisa ser positivo:
\log_{3}(x-1)>0.
A desigualdade \log_{3}(x-1)>0 acontece exatamente quando x-1>1 (pois \log_{3}(t)>0 \iff t>1), portanto
x-1>1 \quad\Rightarrow\quad x>2.
Conclusão do domínio: qualquer solução deve satisfazer x>2.

Passo 3

Agora resolvemos a equação usando a propriedade fundamental entre logaritmo e exponenciação.
Propriedade usada: para a>0, a\neq1, vale
\log_{a}(y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad y=a^{c}.
No caso, se \log_{2}\big(\log_{3}(x-1)\big)=2, então aplicando a propriedade com a=2 e y=\log_{3}(x-1) obtemos
\log_{3}(x-1)=2^{2}.

Passo 4

Calcule 2^{2}:
2^{2}=4.
Portanto agora temos a equação mais simples
\log_{3}(x-1)=4.

Passo 5

Aplicando novamente a conversão logaritmo \leftrightarrow potência (agora com base 3):
\log_{3}(x-1)=4 \quad\Longleftrightarrow\quad x-1=3^{4}.
Calcule 3^{4}:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81.
Logo
x-1=81 \quad\Rightarrow\quad x=82.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): substituir x=82 na equação original.
Calcule \log_{3}(82-1)=\log_{3}(81). Como 3^{4}=81, tem-se \log_{3}(81)=4.
Agora \log_{2}\big(\log_{3}(81)\big)=\log_{2}(4). Como 2^{2}=4, tem-se \log_{2}(4)=2. Portanto a igualdade é satisfeita.
Também x=82 satisfaz a condição de existência x>2.

Passo 7

Observação sobre unicidade: as funções logarítmicas \log_{3} e \log_{2} são crescentes e injetoras no domínio permitido, então a equação composta admite no máximo uma solução — e encontramos exatamente uma, x=82.
Um exemplo rápido parecido para treinar: resolver \log_{5}(\log_{2}x)=1. Seguindo o mesmo raciocínio:
\log_{2}x=5^{1}=5 \quad\Rightarrow\quad x=2^{5}=32,
com domínio x>1 e \log_{2}x>0\Rightarrow x>1, e x=32 funciona.

Resposta

x=82

Exercícios relacionados