Resolva as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que se pede: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão envolve logaritmos aninhados: primeiro
e depois . - Para que a equação faça sentido, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos (isso vem da definição de logaritmo).
Passo 2
Analisando o domínio (condições de existência) passo a passo.
Regra: o logaritmo
está definido somente para
(quando
e
, que é o caso de
e
).
Aplicando ao nosso problema:
- O argumento interno é
. Para existir é preciso
- Além disso, esse valor
é o argumento de , então precisa ser positivo:
A desigualdade
acontece exatamente quando
(pois
), portanto
Conclusão do domínio: qualquer solução deve satisfazer
.
Passo 3
Agora resolvemos a equação usando a propriedade fundamental entre logaritmo e exponenciação.
Propriedade usada: para
,
, vale
No caso, se
, então aplicando a propriedade com
e
obtemos
Passo 4
Calcule
:
Portanto agora temos a equação mais simples
Passo 5
Aplicando novamente a conversão logaritmo
potência (agora com base
):
Calcule
:
Logo
Passo 6
Verificação (sempre bom checar na prova): substituir
na equação original.
Calcule
. Como
, tem-se
.
Agora
. Como
, tem-se
. Portanto a igualdade é satisfeita.
Também
satisfaz a condição de existência
.
Passo 7
Observação sobre unicidade: as funções logarítmicas
e
são crescentes e injetoras no domínio permitido, então a equação composta admite no máximo uma solução — e encontramos exatamente uma,
.
Um exemplo rápido parecido para treinar: resolver
. Seguindo o mesmo raciocínio:
com domínio
e
, e
funciona.