Se log 2=a e log 3=b, calcule em função de a e b os logaritmos:a) log 6. b) log 1,5 c) log raiz[5]72. d) log 180.

Passo 1

O enunciado nos dá que log 2 = a e log 3 = b. Precisamos calcular quatro logaritmos diferentes expressos em função de a e b. Para isso vamos usar as propriedades básicas dos logaritmos: produto ( log(xy)=log x+log y), quociente ( log(x/y)=log x-log y) e potência ( log(x^c)=clog x).

Passo 2

Para calcular log6 (item a), observamos que 6=2cdot3. Então aplicamos a propriedade do produto:
log6=log(2cdot3)=log2+log3
Como log2=a e log3=b, resulta em
log6=a+b

Passo 3

Para calcular log1,5 (item b), note que 1,5=tfrac32. Usamos a propriedade do quociente:
log1,5=logl(32r)=log3-log2
Substituindo log3=b e log2=a, temos
log1,5=b-a

Passo 4

Para calcular lograiz[5]72 (item c), escrevemos primeiro como potência:
lograiz[5]72=log(72^1/5)=tfrac15log72
Em seguida, fatoramos 72=8cdot9=2^3cdot3^2 e aplicamos produto e potência:
log72=log(2^3cdot3^2)=3log2+2log3=3a+2b
Logo,
lograiz[5]72=15(3a+2b)=3a+2b5

Passo 5

Para calcular log180 (item d), podemos usar que 180=18cdot10. Então
log180=log18+log10
Como log10=1 e 18=2cdot9=2cdot3^2, temos
log18=log2+log(3^2)=a+2b
Portanto,
log180=(a+2b)+1=a+2b+1

Resposta

a) a+b; b) b-a; c) tfrac3a+2b5; d) a+2b+1.

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