Se
, qual será o valor de
.
(DICA: analise o produto
)
(DICA: analise o produto
Passo 1
O enunciado dá \(
\log_{2}(2-\sqrt{2}) = a
\
) e pede para achar \(
\log_{2}(2+\sqrt{2})
\
). O conteúdo é propriedades de logaritmo, em especial a relação entre o logaritmo de um produto e soma de logaritmos.
\log_{2}(2-\sqrt{2}) = a
\
) e pede para achar \(
\log_{2}(2+\sqrt{2})
\
). O conteúdo é propriedades de logaritmo, em especial a relação entre o logaritmo de um produto e soma de logaritmos.
Passo 2
Primeiro, observe o produto sugerido:
$$
(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2
$$
(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2
$$
Em seguida, aplique o logaritmo em base 2 nesse produto. Usando a propriedade $\log(bc) = \log b + \log c$, temos:
$$
\log_{2}\bigl((2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})\bigr) = \log_{2}(2-\sqrt{2}) + \log_{2}(2+\sqrt{2})
$$
\log_{2}\bigl((2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})\bigr) = \log_{2}(2-\sqrt{2}) + \log_{2}(2+\sqrt{2})
$$
Como o produto vale 2, o logaritmo do lado esquerdo é
$$
\log_{2}(2) = 1
$$
\log_{2}(2) = 1
$$
Portanto
$$
1 = \log_{2}(2-\sqrt{2}) + \log_{2}(2+\sqrt{2}) = a + \log_{2}(2+\sqrt{2})
$$
1 = \log_{2}(2-\sqrt{2}) + \log_{2}(2+\sqrt{2}) = a + \log_{2}(2+\sqrt{2})
$$
Isolando \(
\log_{2}(2+\sqrt{2})
\
), obtemos:
\log_{2}(2+\sqrt{2})
\
), obtemos:
$$
\log_{2}(2+\sqrt{2}) = 1 - a
$$
\log_{2}(2+\sqrt{2}) = 1 - a
$$
Resposta
$1 - a$