(UF-CE) Os números reais a, b, c e d são tais que, para todo x real, tem-se a x^3+b x^2+c x+d=(x^2+x-2). cdot(x-4)-(x+1) cdot(x^2-5 x+3).
Desse modo, o valor de b + d é:
a) -2
b) 0
c) 4
d) 6
e) 10

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você enviou! A gente precisa encontrar os valores de b e d em uma expressão polinomial, e depois somar esses dois valores. O conteúdo aqui envolve polinômios e igualdade de funções. Para resolver isso, vamos precisar expandir as expressões dadas e igualar os coeficientes dos termos correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos dizendo. Temos que para todo número real x ,
a x^3 + b x^2 + c x + d = (x^2 + x - 2) cdot (x - 4) - (x + 1) cdot (x^2 - 5 x + 3)
Isso significa que os dois lados dessa equação devem ser iguais para qualquer valor de x . Então, nosso objetivo é expandir as expressões do lado direito e depois comparar os coeficientes dos termos semelhantes com os do lado esquerdo.

Passo 3

Vamos começar expandindo a primeira parte do lado direito: (x^2 + x - 2) cdot (x - 4) .
Multiplicando termo a termo:
x^2 cdot x &= x^3 x^2 cdot (-4) &= -4x^2 x cdot x &= x^2 x cdot (-4) &= -4x -2 cdot x &= -2x -2 cdot (-4) &= 8
Agora, somando todos esses resultados:
x^3 - 4x^2 + x^2 - 4x - 2x + 8 = x^3 - 3x^2 - 6x + 8

Passo 4

Agora, vamos expandir a segunda parte do lado direito: (x + 1) cdot (x^2 - 5 x + 3) .
Multiplicando termo a termo:
x cdot x^2 &= x^3 x cdot (-5x) &= -5x^2 x cdot 3 &= 3x 1 cdot x^2 &= x^2 1 cdot (-5x) &= -5x 1 cdot 3 &= 3
Somando todos esses resultados:
x^3 - 5x^2 + 3x + x^2 - 5x + 3 = x^3 - 4x^2 - 2x + 3

Passo 5

Agora, vamos colocar tudo junto no lado direito da equação original:
(x^3 - 3x^2 - 6x + 8) - (x^3 - 4x^2 - 2x + 3)
Subtraindo termo a termo:
x^3 - 3x^2 - 6x + 8 - x^3 + 4x^2 + 2x - 3 = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (-6x + 2x) + (8 - 3)
Simplificando:
x^2 - 4x + 5

Passo 6

Agora, nossa equação fica:
a x^3 + b x^2 + c x + d = x^2 - 4x + 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
a = 0 (coeficiente de x^3) b = 1 (coeficiente de x^2) c = -4 (coeficiente de x) d = 5 (termo constante)

Passo 7

Agora que temos b = 1 e d = 5 , basta somar esses dois valores:
b + d = 1 + 5 = 6

Resposta

O valor de b + d é 6.

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