Uma pessoa média gera calor enquanto está descansando em um quarto. Considere a emissividade da pele como sendo 0,9 , que a cabeça pode ser aproximada para uma esfera de 30 cm de diâmetro e que o sujeito (cabeçudo) é careca.
a) Determinar a taxa de transferência de calor perdida pela cabeça, quando a cabeça está a 15^{\circ} \mathrm{C} e o ar e as paredes do quarto estão em 25^{\circ} \mathrm{C}, num ambiente tranquilo.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por radiação de uma “cabeça” modelada como esfera, com emissividade da pele \epsilon=0,9, diâmetro D=0,30\:\mathrm{m} (logo raio r=0,15\:\mathrm{m}), temperatura da superfície da cabeça T_s=15^\circ\mathrm{C} e temperatura do ambiente (ar e paredes) T_\infty=25^\circ\mathrm{C}. Vamos usar o conceito de troca radiativa líquida para corpos grandes em repouso, dado pela lei de Stefan–Boltzmann.

Passo 2

Calculamos a área da esfera que representa a cabeça. Para uma esfera de raio r:
A = 4\pi r^2 = 4\pi (0,15)^2 = 4\pi (0,0225) \approx 0{,}283\:\mathrm{m^2}.

Passo 3

Convertendo as temperaturas para kelvin:
T_s = 15^\circ\mathrm{C} = 288{,}15\:\mathrm{K}, \quad T_\infty = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\:\mathrm{K}.

Passo 4

A taxa de transferência de calor por radiação líquida é
Q = \epsilon\,\sigma\,A\bigl(T_s^4 - T_\infty^4\bigr),
onde \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\:\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}.

Passo 5

Substituindo valores:
T_s^4 \approx (288{,}15)^4 = 6{,}90\times 10^9,\quad T_\infty^4 \approx (298{,}15)^4 = 7{,}90\times 10^9,
T_s^4 - T_\infty^4 \approx -1{,}00\times 10^9\:\mathrm{K^4}.
Logo
Q = 0{,}9 \times 5{,}67\times 10^{-8} \times 0{,}283 \times (-1{,}00\times 10^9) \approx -14{,}4\:\mathrm{W}.

Resposta

A taxa de transferência de calor por radiação é
Q \approx -14{,}4\:\mathrm{W},
isto é, em vez de perder calor, a cabeça mais fria acaba ganhando cerca de 14{,}4\:\mathrm{W} do ambiente por radiação.

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