1. Um longo tubo cilíndrico de raio 4 cm e comprimento 150 cm , de vidro, inicialmente a 20^circ C é colocado numa estufa a 200^circ C, sendo o coeficiente de convecção entre o ar e o cilindro de 12 W / m^20 C. Qual a temperatura no centro do cilindro ao fim de 100 minutos. Qual o calor transferido para o cilindro nesse tempo
    Vidro: condutividade: 1.1 W / m^circ C; massa específica: 2413 kg / m^3; calor especifico: 0.837 kJ / kg^circ C

Passo 1

Vamos fazer o aquecimento transiente de um cilindro longo de raio r0=4 cm=0,04 m, comprimento L=1,5 m, condutividade térmica k=1,1 W/(m,^circ C), densidade rho=2413 kg/m^3 e calor específico cp=0,837 kJ/(kg,^circ C)=837 J/(kg,^circ C).
Temperatura inicial Ti=20,^circC, ambiente da estufa Tinfty=200,^circC, coeficiente de convecção h=12 W/(m^2,^circ C).
Conteúdo: condução transiente em cilindro com convecção na superfície, usando solução em série (Heisler charts / método dos autovalores).

Passo 2

Calculamos o número de Biot para ver se podemos usar o método de lumped capacitance ou se precisamos da solução em série:
Bi=h,Lck, Lc=VA=pi r0^2 L2pi r0 L=r02=0,02 m,
Bi=12cdot0,021,1approx0,218,
Como Bi>0,1, não cabe o modelo de corpo lumped; usamos a solução em série para cilindro.

Passo 3

Na solução em série para o ponto central r=0, a razão adimensional de temperatura é
Theta=T(0,t)-TinftyTi-Tinfty approx C1expl(-lambda1^2,For),
onde lambda1 é a primeira raiz de
lambda,J1(lambda)=Bi,J0(lambda),
e
C1=4sinlambda12lambda1+sin(2lambda1)
Para Bi=0,218 obtém-se numericamente lambda1approx0,655 e daí
C1=4sin(0,655)2cdot0,655+sin(1,31) approx1,07

Passo 4

Calculamos o número de Fourier Fo=alpha,t/r0^2, com difusividade térmica
alpha=krho,cp =1,12413cdot837 approx5,44times10^-7 m^2/s
Para t=100 min=6000 s e r0=0,04 m,
Fo =5,44times10^-7cdot6000(0,04)^2 approx2,04
Logo
Thetaapprox1,07expl(-0,655^2cdot2,04r) =1,07exp(-0,876) approx0,4455
Então
T(0,6000)-20020-200=0,4455 ;Longrightarrow; T(0,6000)=200-180cdot0,4455approx119,8,^circC

Passo 5

Agora o calor absorvido pelo cilindro até t é dado (aprox.) por
Q=m,cpl(Tmédio(t)-Tir) é
Para estimativa tomamos a temperatura média aproximadamente igual à do centro (primeira ordem).
O volume é
V=pi r0^2L=pi(0,04)^2cdot1,5approx7,54times10^-3 m^3,
massa
m=rho V=2413cdot7,54times10^-3approx18,2 kg
Então
Qapprox18,2cdot837cdotl(119,8-20r)approx1,52times10^6 J =1,52 MJ

Resposta

A temperatura no centro depois de 100 min é aproximadamente 119,8,^circC.
O calor transferido ao cilindro nesse tempo é cerca de 1,52 MJ.

Exercícios relacionados