Em um losango, uma diagonal faz um ângulo de 60^{\circ} com um lado. Determine as medidas dos ângulos internos.

Passo 1

O enunciado diz que em um losango uma de suas diagonais forma um ângulo de 60^\circ com um dos lados. Vamos usar as propriedades do losango e das suas diagonais para encontrar os ângulos internos.

Passo 2

Em todo losango as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos. Ou seja, se chamarmos de A, B, C e D os vértices do losango, a diagonal AC divide o ângulo \angle A em duas partes iguais, e a diagonal BD divide o ângulo \angle B em duas partes iguais.

Passo 3

Supondo que a diagonal considerada seja AC e que ela forma 60^\circ com o lado AB no vértice A, temos
\frac{\angle A}{2} = 60^\circ
pois AC bisseta \angle A. Logo,
\angle A = 2 \times 60^\circ = 120^\circ.
Pelo fato de em um paralelogramo (e, portanto, no losango) os ângulos opostos são iguais, segue-se que
\angle C = \angle A = 120^\circ.

Passo 4

A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360^\circ. Já sabemos que \angle A+\angle C = 120^\circ+120^\circ=240^\circ. Logo,
\angle B + \angle D = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ.
E como \angle B = \angle D (ângulos opostos iguais), cada um vale
\angle B = \angle D = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ.

Resposta

Os ângulos internos do losango são 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ e 60^\circ.

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