Sejam
e
vetores não nulos. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em
, que a norma do produto vetorial de dois vetores não nulos
e
é dada por
Vamos usar a interpretação geométrica do produto vetorial e a definição de seno de um ângulo num triângulo retângulo.
Passo 2
Pela definição geométrica do produto vetorial,
é um vetor perpendicular tanto a
quanto a
, e cuja norma é igual à área do paralelogramo determinado pelos lados
e
. Então
Passo 3
A área de um paralelogramo de base de comprimento
e altura
é
Para encontrar
, basta projetar
perpendicularmente à direção de
. Formamos assim um triângulo retângulo em que a hipotenusa tem comprimento
e o ângulo entre
e
vale
. Nesse triângulo,
Passo 4
Substituindo
na expressão da área do paralelogramo, obtemos