Sejam u e v vetores não nulos. Mostre que |u wed>= v|=|u| cdot|v| cdot sen(ang(u, v)).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em R^3 , que a norma do produto vetorial de dois vetores não nulos u e v é dada por
|uwed>=v| ;=;|u|;|v|;sen!l(ang<=(u,v)r)
Vamos usar a interpretação geométrica do produto vetorial e a definição de seno de um ângulo num triângulo retângulo.

Passo 2

Pela definição geométrica do produto vetorial, uwed>=v é um vetor perpendicular tanto a u quanto a v, e cuja norma é igual à área do paralelogramo determinado pelos lados u e v. Então
|uwed>=v| = área do para<=logramo com lados u e v á

Passo 3

A área de um paralelogramo de base de comprimento |u| e altura h é
Área = |u|;h Á
Para encontrar h, basta projetar v perpendicularmente à direção de u. Formamos assim um triângulo retângulo em que a hipotenusa tem comprimento |v| e o ângulo entre u e v vale ang<=(u,v). Nesse triângulo,
sen!l(ang<=(u,v)r) =h|v| Longrightarrow h = |v|;sen!l(ang<=(u,v)r)

Passo 4

Substituindo h na expressão da área do paralelogramo, obtemos
|uwed>=v| = |u|;h = |u|;l(|v|;sen!l(ang<=(u,v)r)r) = |u|;|v|;sen!l(ang<=(u,v)r)

Resposta

|uwed>=v| =|u|;|v|;sen!l(ang<=(u,v)r)

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