Sejam u, v, w, vetores.
(1) Mostre que |[u, v, w]| <=|u| cdot|v| cdot|w|.
(2) Mostre que, se u, v e w são todos não nulos e|[u, v, w]|=|u| cdot|v| cdot|w|, então u perp v, u perp w e v perp w.

Passo 1

O enunciado trata do produto misto de três vetores vec u,vec v,vec w em R^3, definido por
[vec u,vec v,vec w] ;=; (vec utimes vec v)cdot vec w
Queremos ( 1) provar a desigualdade
l|[vec u,vec v,vec w]r|<= |vec u|;|vec v|;|vec w|
e ( 2) caracterizar o caso de igualdade, mostrando que ela ocorre exatamente quando vec u,vec v,vec w são mutuamente perpendiculares.

Passo 2

Usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz no escalar (vec utimes vec v)cdot vec w. De fato, para quaisquer vetores vec a,vec b vale
|vec acdotvec b|<= |vec a|;|vec b|
Aplicando com vec a=vec utimesvec v e vec b=vec w, obtemos
l|[vec u,vec v,vec w]r| =l|(vec utimes vec v)cdot vec wr| <= |vec utimes vec v|;|vec w|

Passo 3

Agora usamos a propriedade do produto vetorial: se theta é o ângulo entre vec u e vec v, então
|vec utimesvec v| =|vec u|;|vec v|;|sintheta| ;<=;|vec u|;|vec v|
Substituindo na desigualdade anterior resulta
l|[vec u,vec v,vec w]r| <= |vec u|;|vec v|;|vec w|

Passo 4

Concluímos, portanto, a parte ( 1):
l|[vec u,vec v,vec w]r|<= |vec u|;|vec v|;|vec w|

Passo 5

Para ( 2), analisamos quando ocorre igualdade em cada etapa:
1. Em Cauchy–Schwarz, a igualdade |(vec utimes vec v)cdot vec w| = |vec utimes vec v|;|vec w| acontece se, e somente se, vec w é paralelo a vec utimes vec v. Mas vec utimes vec v é por definição perpendicular a vec u e a vec v. Logo, vec w paralelo a vec utimes vec v implica
vec wperp vec u e vec wperp vec v
2. Na segunda desigualdade |vec utimesvec v|<=|vec u||vec v|, a igualdade ocorre se, e somente se, |sintheta|=1, i.e., theta=90^circ. Isso significa
vec uperp vec v
Combinando, vemos que a igualdade
l|[vec u,vec v,vec w]r|=|vec u|;|vec v|;|vec w|
só acontece quando vec uperp vec v, vec uperp vec w e vec vperp vec w.

Resposta

(1) l|[u,v,w]r| <= |u| ; |v| ; |w|.\n(2) A igualdade ocorre se, e somente se, u, v, w são mutuamente perpendiculares.

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