Para (2), analisamos quando ocorre igualdade em cada etapa:
1. Em Cauchy–Schwarz, a igualdade |(vec utimes vec v)cdot vec w| = |vec utimes vec v|;|vec w| acontece se, e somente se, vec w é paralelo a vec utimes vec v. Mas vec utimes vec v é por definição perpendicular a vec u e a vec v. Logo, vec w paralelo a vec utimes vec v implica
vec wperp vec u e vec wperp vec v
2. Na segunda desigualdade |vec utimesvec v|<=|vec u||vec v|, a igualdade ocorre se, e somente se, |sintheta|=1, i.e., theta=90^circ. Isso significa
vec uperp vec v
Combinando, vemos que a igualdade
l|[vec u,vec v,vec w]r|=|vec u|;|vec v|;|vec w|
só acontece quando vec uperp vec v, vec uperp vec w e vec vperp vec w.
Resposta
(1) l|[u,v,w]r| <= |u| ; |v| ; |w|.\n(2) A igualdade ocorre se, e somente se, u, v, w são mutuamente perpendiculares.