Um losango tem 100 cm de perímetro. Sabendo que uma diagonal é o triplo da outra, calcule as medidas das diagonais e a área do losango.

Passo 1

O enunciado diz que temos um losango com perímetro 100 cm e que uma diagonal é o triplo da outra. Vamos usar geometria elementar de losangos: cada lado vale um quarto do perímetro, e os semieixos formados pelas diagonais são catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o lado do losango.

Passo 2

Como o perímetro é 100 cm e o losango tem 4 lados iguais, cada lado vale
s = \frac{100}{4} = 25\text{ cm}.

Passo 3

Seja d a diagonal menor e D a diagonal maior. Temos
D = 3d.
No losango, as diagonais se cortam ao meio em ângulo reto, logo em cada triângulo retângulo formado:
s^2 = \Bigl(\tfrac{D}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{d}{2}\Bigr)^2.

Passo 4

Substituindo D=3d em cima:
25^2 = \Bigl(\tfrac{3d}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{d}{2}\Bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad 625 = \frac{9d^2 + d^2}{4} = \frac{10d^2}{4} = \frac{5d^2}{2}.
Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por 5:
d^2 = \frac{625 \times 2}{5} = 250 \quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}\text{ cm}.

Passo 5

Então
D = 3d = 3 \times 5\sqrt{10} = 15\sqrt{10}\text{ cm}.
A área do losango é
A = \frac{D \, d}{2} = \frac{15\sqrt{10} \times 5\sqrt{10}}{2} = \frac{15 \times 5 \times 10}{2} = \frac{750}{2} = 375\text{ cm}^2.

Resposta

Diagonal menor: 5\sqrt{10} cm
Diagonal maior: 15\sqrt{10} cm
Área: 375 cm ^2

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