Questão 2 Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
- Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.
- Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação da cônica em coordenadas polares
e pede (1) identificar o tipo de cônica e uma reta diretriz, e (2) escrever a equação em coordenadas cartesianas. Vamos usar a forma padrão
para achar a excentricidade
e a distância
ao diretiz, e depois substituir
,
para obter a forma cartesiana.
Passo 2
Reescrevendo
logo
. Como
, segue
. Como
, a cônica é uma hipérbole com foco na origem. Para a forma
a reta diretiz é
a reta diretiz é
isto é,
.
Passo 3
Para passar a coordenadas cartesianas fazemos
e
.
Substituindo em
dá
e
Substituindo em
dá
Isolando o radical e elevando ao quadrado:
Reagrupando termos, obtemos a forma geral em
:
Resposta
- A cônica é uma hipérbole de excentricidade
com diretiz . - A equação em coordenadas cartesianas é