Questão 2 Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
r=\frac{6}{2+3 \cos \theta}
  1. Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.
  2. Escreva a equação da cônica em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da cônica em coordenadas polares
r = \frac{6}{2 + 3\cos\theta}
e pede (1) identificar o tipo de cônica e uma reta diretriz, e (2) escrever a equação em coordenadas cartesianas. Vamos usar a forma padrão
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}
para achar a excentricidade e e a distância d ao diretiz, e depois substituir r = \sqrt{x^2 + y^2}, \cos\theta = x/r para obter a forma cartesiana.

Passo 2

Reescrevendo
r = \frac{6}{2 + 3\cos\theta} = \frac{6}{2\bigl(1 + \tfrac{3}{2}\cos\theta\bigr)} = \frac{3}{1 + \tfrac{3}{2}\cos\theta},
logo e = \tfrac{3}{2}. Como e\,d = 3, segue d = \tfrac{3}{e} = 2. Como e>1, a cônica é uma hipérbole com foco na origem. Para a forma
\displaystyle r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}
a reta diretiz é
x = -d,
isto é, x = -2.

Passo 3

Para passar a coordenadas cartesianas fazemos
\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}
e
\displaystyle \cos\theta = \frac{x}{r}.
Substituindo em
\displaystyle r = \frac{6}{2 + 3\cos\theta}
\sqrt{x^2 + y^2}\,\bigl(2 + 3\tfrac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\bigr) = 6 \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{x^2 + y^2} + 3x = 6.
Isolando o radical e elevando ao quadrado:
2\sqrt{x^2 + y^2} = 6 - 3x \quad\Longrightarrow\quad 4(x^2 + y^2) = (6 - 3x)^2 = 36 - 36x + 9x^2.
Reagrupando termos, obtemos a forma geral em x,y:
5x^2 - 4y^2 - 36x + 36 = 0.

Resposta

  1. A cônica é uma hipérbole de excentricidade e = \tfrac{3}{2} com diretiz x = -2.
  2. A equação em coordenadas cartesianas é
5x^2 - 4y^2 - 36x + 36 = 0.

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