(VALOR 0,8) Determine a equação reduzida do plano que contenha os pontos \mathrm{A}(1,1,1), \mathrm{B}(1,1,3) \mathrm{e} C(-2,-1,3).

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida do plano que passa pelos pontos A(1,1,1), B(1,1,3) e C(-2,-1,3).
Conteúdo: geometria analítica no espaço, especificamente obter a equação de um plano a partir de três pontos. Vamos precisar de vetores diretores, produto vetorial para achar o normal e depois usar a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calculamos dois vetores diretores do plano, \vec{AB} e \vec{AC}:
\vec{AB} = B - A = (1,1,3) - (1,1,1) = (0,0,2)
\vec{AC} = C - A = (-2,-1,3) - (1,1,1) = (-3,-2,2)

Passo 3

O vetor normal \vec{n} ao plano é dado por
\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ -3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = (0\cdot2 - 2\cdot(-2),\;-\bigl(0\cdot2 - 2\cdot(-3)\bigr),\;0\cdot(-2)-0\cdot(-3)) = (4,-6,0).
Podemos simplificar para \vec{n}=(2,-3,0), dividindo por 2.

Passo 4

A forma ponto-normal do plano é
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,
onde (a,b,c)=\vec{n} e (x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano (escolhemos A(1,1,1)). Substituindo:
2(x - 1) - 3(y - 1) + 0\cdot(z - 1) = 0.

Passo 5

Desenvolvendo e simplificando:
2x - 2 - 3y + 3 = 0
2x - 3y + 1 = 0.

Resposta

A equação reduzida do plano é
2x - 3y + 1 = 0.

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