Questão 3

Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um prédio, com 9 andares e 8 apartamentos de 2 quartos por andar, está com todos os seus apartamentos à venda. Os apartamentos são identificados por números formados por dois algarismos, sendo que a dezena indica o andar onde se encontra o apartamento, e a unidade, um algarismo de 1 a 8, que diferencia os apartamentos de um mesmo andar. Quanto à incidência de sol nos quartos desses apartamentos, constatam-se as seguintes características, em função de seus números de identificação:
  • naqueles que finalizam em 1 ou 2, ambos os quartos recebem sol apenas na parte da manhã;
  • naqueles que finalizam em 3,4,5 ou 6 , apenas um dos quartos recebe sol na parte da manhã;
  • naqueles que finalizam em 7 ou 8 , ambos os quartos recebem sol apenas na parte da tarde.
Uma pessoa pretende comprar 2 desses apartamentos em um mesmo andar, mas quer que, em ambos, pelo menos um dos quartos receba sol na parte da manhã. De quantas maneiras diferentes essa pessoa poderá escolher 2 desses apartamentos para compra nas condições desejadas?
Escolha uma opção:
9 \times \frac{4!}{(4-2)!\times 2!}
9 \times \frac{2!}{(2-2)!\times 2!}
9 \times \frac{6!}{(6-2)!\times 2!}
9 \times\left(\frac{8!}{(8-2)!\times 2!}-1\right)
9 \times \frac{6!}{(6-2)!}
\square

Passo 1

O enunciado fala de um prédio com 9 andares, cada andar com 8 apartamentos numerados de 1 a 8 na unidade, e classifica-os segundo a incidência de sol. Queremos escolher 2 apartamentos no mesmo andar, de forma que, em cada um, pelo menos um quarto receba sol pela manhã. Vamos usar combinatória simples (combinações) para contar as escolhas em cada andar e depois multiplicar pelos 9 andares.

Passo 2

Identificamos quais apartamentos, pelo último dígito y\in\{1,\dots,8\}, têm pelo menos um quarto com sol de manhã:
  • y=1,2: ambos os quartos têm sol de manhã.
  • y=3,4,5,6: um dos quartos tem sol de manhã.
  • y=7,8: nenhum quarto tem sol de manhã (esses descartam).
Logo, em cada andar há 6 apartamentos válidos y=1,2,3,4,5,6.

Passo 3

Em um único andar, o número de maneiras de escolher 2 desses 6 apartamentos é
\binom{6}{2} =\frac{6!}{(6-2)!\,2!} =15.

Passo 4

Como há 9 andares independentes, multiplicamos por 9:
9\times 15 = 135.

Passo 5

Traduzindo para a forma das alternativas, isso corresponde a
9 \times \frac{6!}{(6-2)!\times 2!}.

Resposta

9 \times \frac{6!}{(6-2)!\times 2!}

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