Questão 2

Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Considere 12 pontos distintos dispostos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?
Resposta: \square 7210
\square

Passo 1

O enunciado diz que temos 12 pontos distintos no plano, sendo que exatamente 5 deles estão numa mesma reta e nenhuma outra reta contém 3 ou mais pontos. Queremos contar quantos triângulos formados por esses 12 pontos podemos fazer, ou seja, quantas escolhas de 3 pontos não caem todos na mesma reta.

Passo 2

Primeiro contamos todas as escolhas de 3 pontos dentre os 12, sem nos preocupar com colinearidade. Isso é dado pelo número de combinações
\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3\cdot2\cdot1} = 220.

Passo 3

Agora subtraímos as escolhas que não formam triângulo, ou seja, as 3-tuplas de pontos colineares. A única reta “proibida” com 3 ou mais pontos é a reta que contém os 5 pontos especiais. O número de maneiras de escolher 3 pontos dentre esses 5 é
\binom{5}{3} = \frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1} = 10.

Passo 4

Portanto, o total de triângulos é
220 - 10 = 210.

Resposta

210

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