De um lote de 20 peças, onde 6 são defeituosas, duas peças são retiradas, uma após a outra e na ordem indicada, sem reposição. Qual a probabilidade de que:
uma defeituosa e a outra não?
uma defeituosa e a outra não?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Do lote: há
peças no total. - Destas,
são defeituosas. - Logo,
são não defeituosas (boas). - São retiradas
peças, uma após a outra, sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com uma peça a menos no lote). - O enunciado pergunta: qual a probabilidade de que uma peça seja defeituosa e a outra não defeituosa? (Interpreto como “exatamente uma defeituosa nas duas retiradas”, em qualquer ordem.)
Passo 2
Vou explicar a ideia básica que vou usar: probabilidade condicional e a regra do produto.
- Conceito: se
e são dois eventos, a probabilidade de ambos ocorrerem em sequência é
onde
é a probabilidade de
ocorrer dado que
já ocorreu. Aqui isso faz sentido porque a segunda retirada ocorre com um lote modificado pela primeira retirada (sem reposição).
- No nosso problema há duas sequências possíveis que dão “uma defeituosa e uma não”: (i) primeiro defeituosa e depois não defeituosa; (ii) primeiro não defeituosa e depois defeituosa. Essas duas sequências são mutuamente exclusivas, então a probabilidade do evento “exatamente uma defeituosa” é a soma das probabilidades dessas duas sequências.
Passo 3
Calcular
.
- Probabilidade de tirar uma defeituosa na primeira retirada:
pois há
defeituosas entre
peças.
- Após retirar uma defeituosa, sobram
peças, das quais são não defeituosas. Assim a probabilidade condicional de tirar uma não defeituosa na segunda retirada é
- Pela regra do produto:
- Calculemos a fração:
Passo 4
Calcular
.
- Probabilidade de tirar uma não defeituosa na primeira retirada:
- Depois, restam
peças e defeituosas, então
- Pela regra do produto:
Passo 5
Somar as duas probabilidades (são casos disjuntos):
Passo 6
Verificação alternativa (método combinatório / hipergeométrico), por reforço didático:
- Contar de quantas formas escolher exatamente uma defeituosa e uma não defeituosa dentre as duas retiradas (a ordem não importa aqui):
(escolher 1 das 6 defeituosas e 1 das 14 não defeituosas).
- Número total de formas de escolher 2 peças de 20:
- Assim a probabilidade é
que confere com o resultado obtido pelo cálculo sequencial. A fórmula hipergeométrica é útil quando não há reposição e se pergunta por um número fixo de sucessos numa amostra.
Passo 7
Resumo final e incentivo rápido: a probabilidade de tirar, em duas retiradas sem reposição, exatamente uma peça defeituosa é
. Está feito — você já viu duas formas de resolver: via probabilidade condicional passo a passo (útil em provas quando pedem “na ordem indicada”) e via contagem/hipergeométrica (útil para checar e quando a ordem não importa). Vai dar certo, respira e pratica mais uns exercícios assim que conseguir!