De um lote de 20 peças, onde 6 são defeituosas, duas peças são retiradas, uma após a outra e na ordem indicada, sem reposição. Qual a probabilidade de que:
uma defeituosa e a outra não?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Do lote: há 20 peças no total.
  • Destas, 6 são defeituosas.
  • Logo, 20-6=14 são não defeituosas (boas).
  • São retiradas 2 peças, uma após a outra, sem reposição (ou seja, a segunda retirada ocorre com uma peça a menos no lote).
  • O enunciado pergunta: qual a probabilidade de que uma peça seja defeituosa e a outra não defeituosa? (Interpreto como “exatamente uma defeituosa nas duas retiradas”, em qualquer ordem.)

Passo 2

Vou explicar a ideia básica que vou usar: probabilidade condicional e a regra do produto.
  • Conceito: se A e B são dois eventos, a probabilidade de ambos ocorrerem em sequência é
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A),
onde P(B\mid A) é a probabilidade de B ocorrer dado que A já ocorreu. Aqui isso faz sentido porque a segunda retirada ocorre com um lote modificado pela primeira retirada (sem reposição).
  • No nosso problema há duas sequências possíveis que dão “uma defeituosa e uma não”: (i) primeiro defeituosa e depois não defeituosa; (ii) primeiro não defeituosa e depois defeituosa. Essas duas sequências são mutuamente exclusivas, então a probabilidade do evento “exatamente uma defeituosa” é a soma das probabilidades dessas duas sequências.

Passo 3

Calcular P(\text{defeituosa na 1ª e não defeituosa na 2ª})ªãª.
  • Probabilidade de tirar uma defeituosa na primeira retirada:
P(\text{D}_1)=\frac{6}{20},
pois há 6 defeituosas entre 20 peças.
  • Após retirar uma defeituosa, sobram 19 peças, das quais 14 são não defeituosas. Assim a probabilidade condicional de tirar uma não defeituosa na segunda retirada é
P(\text{N}_2\mid \text{D}_1)=\frac{14}{19}.
  • Pela regra do produto:
P(\text{D}_1\cap \text{N}_2)=\frac{6}{20}\cdot\frac{14}{19}.
  • Calculemos a fração:
\frac{6}{20}\cdot\frac{14}{19}=\frac{6\cdot14}{20\cdot19}=\frac{84}{380}=\frac{21}{95}.

Passo 4

Calcular P(\text{não defeituosa na 1ª e defeituosa na 2ª})㪪.
  • Probabilidade de tirar uma não defeituosa na primeira retirada:
P(\text{N}_1)=\frac{14}{20}.
  • Depois, restam 19 peças e 6 defeituosas, então
P(\text{D}_2\mid \text{N}_1)=\frac{6}{19}.
  • Pela regra do produto:
P(\text{N}_1\cap \text{D}_2)=\frac{14}{20}\cdot\frac{6}{19}=\frac{14\cdot6}{20\cdot19}=\frac{84}{380}=\frac{21}{95}.

Passo 5

Somar as duas probabilidades (são casos disjuntos):
P(\text{exatamente uma defeituosa})=P(\text{D}_1\cap \text{N}_2)+P(\text{N}_1\cap \text{D}_2)=\frac{21}{95}+\frac{21}{95}=\frac{42}{95}.

Passo 6

Verificação alternativa (método combinatório / hipergeométrico), por reforço didático:
  • Contar de quantas formas escolher exatamente uma defeituosa e uma não defeituosa dentre as duas retiradas (a ordem não importa aqui):
\binom{6}{1}\binom{14}{1}
(escolher 1 das 6 defeituosas e 1 das 14 não defeituosas).
  • Número total de formas de escolher 2 peças de 20:
\binom{20}{2}.
  • Assim a probabilidade é
\frac{\binom{6}{1}\binom{14}{1}}{\binom{20}{2}}=\frac{6\cdot14}{\frac{20\cdot19}{2}}=\frac{84}{190}=\frac{42}{95},
que confere com o resultado obtido pelo cálculo sequencial. A fórmula hipergeométrica é útil quando não há reposição e se pergunta por um número fixo de sucessos numa amostra.

Passo 7

Resumo final e incentivo rápido: a probabilidade de tirar, em duas retiradas sem reposição, exatamente uma peça defeituosa é \dfrac{42}{95}. Está feito — você já viu duas formas de resolver: via probabilidade condicional passo a passo (útil em provas quando pedem “na ordem indicada”) e via contagem/hipergeométrica (útil para checar e quando a ordem não importa). Vai dar certo, respira e pratica mais uns exercícios assim que conseguir!

Resposta

\dfrac{42}{95}

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