De um lote de 225 peças, retiram-se 6 para serem analisadas pelo controle de qualidade.
Admitindo que a porcentagem de peças defeituosas no lote seja de 0.88888888888889%, determine a probabilidade de que, entre as 6 peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.
Determine, também, o valor esperado e a variância para o número de peças defeituosas desse lote.
Valor esperado:
Variância:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 225 peças, das quais 6 são retiradas para análise de qualidade. Sabemos que 0,88888888888889% das peças no lote são defeituosas. Nosso objetivo é:
  1. Calcular a probabilidade de que, entre essas 6 peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.
  2. Determinar o valor esperado e a variância do número de peças defeituosas nesse lote.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando retiramos amostras sem reposição de um conjunto finito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de pelo menos uma peça defeituosa nas 6 retiradas. É mais fácil calcular a probabilidade do evento oposto, ou seja, de nenhuma peça ser defeituosa, e depois subtrair esse valor de 1.
A porcentagem de peças defeituosas é 0,88888888888889%, então o número de peças defeituosas no lote é:
D = 225 times 0,88888888888889100 = 2
Então, temos 2 peças defeituosas e 223 peças não defeituosas no lote.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de nenhuma peça ser defeituosa nas 6 retiradas. Isso significa que todas as 6 peças retiradas são das 223 não defeituosas.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(k) = dbinomDk dbinomN-Dn-kdbinomNn
onde:
- $ N = 225 $ é o número total de peças.
- $ D = 2 $ é o número de peças defeituosas.
- $ n = 6 $ é o número de peças retiradas.
- $ k = 0 $ é o número de peças defeituosas que queremos na amostra.
Então, temos:
N = 225
Calculando cada parte:
D = 2
n = 6 e k = 0 podem ser calculados usando fórmulas de combinação.

Passo 4

Vamos simplificar o cálculo:
P(0) = 1 times dbinom2236dbinom2256
Observe que:
dbinom2256 = 225!6! times 219!
dbinom2236 = 223!6! times 217!
Podemos simplificar a fração:
P(0) = 223! times 225!225! times 219! times 219!217!
P(0) = 223!219! times 219!225! times 225!217! times 6!
P(0) = 223!217! times 6!
Após simplificar, calculamos o valor numérico:
P(0) approx 0,916

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de nenhuma ser defeituosa.
P(pelo menos uma) = 1 - P(0)
P(pelo menos uma) = 1 - 0,916
P(pelo menos uma) approx 0,084
Então, há aproximadamente 8,4% de chance de que pelo menos uma das 6 peças retiradas seja defeituosa.

Passo 6

Agora vamos calcular o valor esperado (ou média) do número de peças defeituosas na amostra de 6 peças. Para isso, usamos a fórmula do valor esperado na distribuição hipergeométrica:
E[X] = n times DN
onde:
- $ n = 6 $ é o número de retiradas.
- $ D = 2 $ é o número de peças defeituosas.
- $ N = 225 $ é o total de peças.
Então:
n = 6
D = 2
N = 225
Isso significa que, em média, esperamos aproximadamente 0,053 peças defeituosas nas 6 retiradas.

Passo 7

Para encontrar a variância da distribuição, usamos a fórmula da variância na distribuição hipergeométrica:
Var(X) = n times DN times N - DN times N - nN - 1
Substituindo os valores:
Var(X) = 6 times 2225 times 223225 times 219224
Calculando:
Var(X) approx 6 times 0,0088889 times 0,9911 times 0,9768
Var(X) approx 0,052
Portanto, a variância é aproximadamente 0,052.

Resposta

Probabilidade de pelo menos uma peça defeituosa: aproximadamente 8,4%
Valor esperado: aproximadamente 0,053 peças defeituosas
Variância: aproximadamente 0,052

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