De um lote de 225 peças, retiram-se 6 para serem analisadas pelo controle de qualidade.
Admitindo que a porcentagem de peças defeituosas no lote seja de 0.88888888888889%, determine a probabilidade de que, entre as 6 peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.
Determine, também, o valor esperado e a variância para o número de peças defeituosas desse lote.
Valor esperado:
Variância:
Admitindo que a porcentagem de peças defeituosas no lote seja de 0.88888888888889%, determine a probabilidade de que, entre as 6 peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.
Valor esperado:
Variância:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lote de 225 peças, das quais 6 são retiradas para análise de qualidade. Sabemos que 0,88888888888889% das peças no lote são defeituosas. Nosso objetivo é:
- Calcular a probabilidade de que, entre essas 6 peças retiradas, pelo menos uma seja defeituosa.
- Determinar o valor esperado e a variância do número de peças defeituosas nesse lote.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade e estatística, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é adequada quando retiramos amostras sem reposição de um conjunto finito.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de pelo menos uma peça defeituosa nas 6 retiradas. É mais fácil calcular a probabilidade do evento oposto, ou seja, de nenhuma peça ser defeituosa, e depois subtrair esse valor de 1.
A porcentagem de peças defeituosas é 0,88888888888889%, então o número de peças defeituosas no lote é:
Então, temos 2 peças defeituosas e 223 peças não defeituosas no lote.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de nenhuma peça ser defeituosa nas 6 retiradas. Isso significa que todas as 6 peças retiradas são das 223 não defeituosas.
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
onde:
- $ N = 225 $ é o número total de peças.
- $ D = 2 $ é o número de peças defeituosas.
- $ n = 6 $ é o número de peças retiradas.
- $ k = 0 $ é o número de peças defeituosas que queremos na amostra.
Então, temos:
Calculando cada parte:
Passo 4
Vamos simplificar o cálculo:
Observe que:
Podemos simplificar a fração:
Após simplificar, calculamos o valor numérico:
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de nenhuma ser defeituosa.
Então, há aproximadamente 8,4% de chance de que pelo menos uma das 6 peças retiradas seja defeituosa.
Passo 6
Agora vamos calcular o valor esperado (ou média) do número de peças defeituosas na amostra de 6 peças. Para isso, usamos a fórmula do valor esperado na distribuição hipergeométrica:
onde:
- $ n = 6 $ é o número de retiradas.
- $ D = 2 $ é o número de peças defeituosas.
- $ N = 225 $ é o total de peças.
Então:
Isso significa que, em média, esperamos aproximadamente 0,053 peças defeituosas nas 6 retiradas.
Passo 7
Para encontrar a variância da distribuição, usamos a fórmula da variância na distribuição hipergeométrica:
Substituindo os valores:
Calculando:
Portanto, a variância é aproximadamente 0,052.
Resposta
Probabilidade de pelo menos uma peça defeituosa: aproximadamente 8,4%
Valor esperado: aproximadamente 0,053 peças defeituosas
Variância: aproximadamente 0,052
Valor esperado: aproximadamente 0,053 peças defeituosas
Variância: aproximadamente 0,052