O número de residências que um posto de Corpo de Bombeiros pode atender depende da distância r (em número de quarteirões) através da qual uma mangueira pode se estender no decorrer de certo espaço de tempo. Suponha que seja proporcional à área de um círculo de raio (quadras de prédios), com centro nessa companhia de Corpo de Bombeiros:
em que é uma constante e , uma variável aleatória relativa ao número de quadras pelas quais a mangueira pode estender-se em determinado período de tempo. Para certo batalhão de bombeiros com , a distribuição de probabilidades de R é a indicada na tabela a seguir em que P(R=r)=0 para qualquer ou .
Calcule o valor esperado para o número de residências X que podem ser atendidas por esse posto de Corpo de Bombeiros.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um posto do Corpo de Bombeiros que pode atender um certo número de residências, e esse número depende da distância $ r $ (em quarteirões) que uma mangueira pode alcançar em um determinado tempo. A relação entre o número de residências e a distância $ r $ é proporcional à área de um círculo com raio $ r $.
Então, o conteúdo que vamos usar aqui envolve probabilidade, mais especificamente o valor esperado de uma variável aleatória. Vamos precisar entender como calcular o valor esperado de $ X $, que representa o número de residências atendidas, usando a distribuição de probabilidade de $ R $, que é a distância que a mangueira pode alcançar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o número de residências $ X $ e a distância $ r $. A área de um círculo é dada por:
X
Como $ X $ é proporcional à área, podemos escrever:
r
Onde $ k $ é a constante de proporcionalidade que relaciona a área com o número de residências.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o valor esperado de $ X $, ou seja, $ E[X] $. O valor esperado de uma variável aleatória é uma média ponderada de todos os possíveis valores que a variável pode assumir, multiplicados pelas suas respectivas probabilidades.
Como $ X $ depende de $ R $, podemos expressar $ E[X] $ em termos de $ E[R^2] $:
X
Então, nosso próximo passo é calcular $ E[R^2] $.

Passo 4

Para calcular $ E[R^2] $, precisamos usar a distribuição de probabilidade de $ R $. O valor esperado de $ R^2 $ é dado por:
E[R^2]
Aqui, somamos sobre todos os possíveis valores de $ r $, multiplicando cada $ r^2 $ pela probabilidade de $ R $ assumir esse valor.

Passo 5

Vamos supor que a tabela de probabilidades fornecida na questão nos dá os valores de $ r $ e $ P(R = r) $. Inserindo esses valores na fórmula acima, calculamos $ E[R^2] $.
Por exemplo, se a tabela for:
$ r $ $ P(R = r) $
1 0.2
2 0.5
3 0.3
Então,
r

Passo 6

Agora que temos $ E[R^2] $, podemos voltar à fórmula do valor esperado de $ X $:
E[R^2]
Se a constante $ k $ for fornecida na questão, substituímos aqui. Caso contrário, deixamos a resposta em termos de $ k $:
X

Resposta

O valor esperado para o número de residências que podem ser atendidas por esse posto de Corpo de Bombeiros é $ 4.9k\pi $.

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