Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra ordenada com reposição;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um lote com 35 peças, das quais 20 estão em bom estado (conformes) e 15 estão defeituosas (não conformes). O exercício pede para calcularmos a probabilidade de, ao selecionar 10 peças com reposição, exatamente 5 delas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de distribuição binomial, que é útil quando lidamos com eventos que têm duas possibilidades, como “defeituoso” ou “conforme”.

Passo 2

Primeiro, como estamos selecionando com reposição, cada seleção é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de uma peça ser defeituosa permanece a mesma em cada seleção. Vamos calcular essa probabilidade.
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é o número de peças defeituosas dividido pelo total de peças:
p = 1535 = 37

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 5 peças serem defeituosas em 10 tentativas. Isso é um caso clássico de distribuição binomial, onde usamos a seguinte fórmula:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa
  • $ n $ é o número total de tentativas

Passo 4

Aplicando os valores ao nosso problema:
  • $ n = 10 $ (total de peças selecionadas)
  • $ k = 5 $ (peças defeituosas desejadas)
  • $ p = \frac{3}{7} $
  • $ 1-p = \frac{4}{7} $
Primeiro, vamos calcular $ C(10, 5) $:
n = 10

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da distribuição binomial:
P(5) = 252 times (37)^5 times (47)^5
Vamos calcular as potências:
(37)^5 = 24316807
(47)^5 = 102416807

Passo 6

Multiplicando tudo:
P(5) = 252 times 24316807 times 102416807 = 252 times 243 times 1024282475249
243 times 1024 = 248832
P(5) = 252 times 248832282475249 approx 252 times 0,000881 = 0,222

Resposta

A probabilidade de observar exatamente 5 peças defeituosas em uma amostra de 10 peças com reposição é aproximadamente 22,2%.

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