Um lote de 35 peças contém 20 peças conformes e 15 não conformes. Uma amostra de 10 peças é selecionada deste lote. Calcule a probabilidade de que se observe exatamente 5 peças defeituosas, considerando uma amostra ordenada com reposição;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um lote com 35 peças, das quais 20 estão em bom estado (conformes) e 15 estão defeituosas (não conformes). O exercício pede para calcularmos a probabilidade de, ao selecionar 10 peças com reposição, exatamente 5 delas serem defeituosas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de distribuição binomial, que é útil quando lidamos com eventos que têm duas possibilidades, como “defeituoso” ou “conforme”.
Passo 2
Primeiro, como estamos selecionando com reposição, cada seleção é independente das outras. Isso significa que a probabilidade de uma peça ser defeituosa permanece a mesma em cada seleção. Vamos calcular essa probabilidade.
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é o número de peças defeituosas dividido pelo total de peças:
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de exatamente 5 peças serem defeituosas em 10 tentativas. Isso é um caso clássico de distribuição binomial, onde usamos a seguinte fórmula:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa
- $ n $ é o número total de tentativas
Passo 4
Aplicando os valores ao nosso problema:
- $ n = 10 $ (total de peças selecionadas)
- $ k = 5 $ (peças defeituosas desejadas)
- $ p = \frac{3}{7} $
- $ 1-p = \frac{4}{7} $
Primeiro, vamos calcular $ C(10, 5) $:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da distribuição binomial:
Vamos calcular as potências:
Passo 6
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de observar exatamente 5 peças defeituosas em uma amostra de 10 peças com reposição é aproximadamente 22,2%.