Em um tanque de água, existem 10 da espécie
e 40 da espécie B. Um pescador seleciona 4 peixes deste tanque ao acaso e sem reposição. Calcule as probabilidades de que, nesta amostra, haja exatamente k peixes da espécie B?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos um tanque com 10 peixes da espécie A e 40 da espécie B, totalizando 50 peixes. Um pescador vai escolher 4 peixes desse tanque de forma aleatória e sem voltar a colocar os peixes escolhidos. Precisamos calcular a probabilidade de que, nessa escolha de 4 peixes, exatamente $ k $ peixes sejam da espécie B.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de combinação, que nos permite calcular de quantas maneiras podemos selecionar um grupo de elementos sem considerar a ordem. A fórmula da combinação é:
onde:
- $ n $ é o total de elementos.
- $ p $ é o número de elementos a serem escolhidos.
- $ ! $ representa o fatorial de um número.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 4 peixes dentre os 50 disponíveis. Isso é dado por:
Esse valor será o denominador da nossa probabilidade, pois representa todas as possibilidades possíveis de escolha.
Passo 4
Agora, queremos saber de quantas maneiras podemos escolher exatamente $ k $ peixes da espécie B e os restantes $ 4 - k $ peixes da espécie A.
-
Escolher $ k $ peixes da espécie B:
-
Escolher $ 4 - k $ peixes da espécie A:
Passo 5
A probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ peixes da espécie B na amostra de 4 é o produto das combinações das espécies B e A dividido pelo total de combinações possíveis. Assim, temos:
Resposta
A probabilidade de que, na amostra de 4 peixes, haja exatamente $ k $ peixes da espécie B é: