Uma moeda honesta é lançada n vezes e observa-se a sequência de caras e coroas obtidas. Qual a probabilidade de se observar uma sequência com exatamente k caras, k=0,1, ldots , n ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo lançamentos de moeda. A situação é a seguinte: jogamos uma moeda honesta (ou seja, com a mesma chance de dar cara ou coroa) n vezes e queremos saber qual a probabilidade de sair exatamente k caras nessa sequência de lançamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada lançamento da moeda é um evento independente. Isso significa que o resultado de um lançamento não afeta o resultado dos outros. Como a moeda é honesta, a probabilidade de dar cara © é de 1/2 e a de dar coroa (K) também é de 1/2.

Passo 3

Agora, para encontrar a probabilidade de obter exatamente k caras em n lançamentos, usamos a distribuição binomial. A fórmula geral da probabilidade binomial é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • binomnk é o número de combinações de n elementos tomados k a k.
  • p é a probabilidade de sucesso em um único ensaio (no nosso caso, dar cara, que é 1/2).
  • 1-p é a probabilidade de fracasso (dar coroa, também 1/2).

Passo 4

Vamos calcular binomnk, que é o número de maneiras diferentes de escolher k caras em n lançamentos. A fórmula para isso é:
binomnk = n!k! cdot (n-k)!
Onde n! representa o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da probabilidade binomial, temos:
P(k) = binomnk cdot (12)^k cdot (12)^n-k
Simplificando, já que (12)^k cdot (12)^n-k = (12)^n, a fórmula fica:
P(k) = binomnk cdot (12)^n

Resposta

A probabilidade de observar exatamente k caras em n lançamentos de uma moeda honesta é:
P(k) = binomnk cdot (12)^n

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