Uma moeda honesta é lançada n vezes e observa-se a sequência de caras e coroas obtidas. Qual a probabilidade de se observar uma sequência com exatamente
caras,
,
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um problema de probabilidade envolvendo lançamentos de moeda. A situação é a seguinte: jogamos uma moeda honesta (ou seja, com a mesma chance de dar cara ou coroa) n vezes e queremos saber qual a probabilidade de sair exatamente k caras nessa sequência de lançamentos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade básica e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada lançamento da moeda é um evento independente. Isso significa que o resultado de um lançamento não afeta o resultado dos outros. Como a moeda é honesta, a probabilidade de dar cara © é de 1/2 e a de dar coroa (K) também é de 1/2.
Passo 3
Agora, para encontrar a probabilidade de obter exatamente k caras em n lançamentos, usamos a distribuição binomial. A fórmula geral da probabilidade binomial é:
Onde:
-
é o número de combinações de n elementos tomados k a k. -
é a probabilidade de sucesso em um único ensaio (no nosso caso, dar cara, que é 1/2). -
é a probabilidade de fracasso (dar coroa, também 1/2).
Passo 4
Vamos calcular
, que é o número de maneiras diferentes de escolher k caras em n lançamentos. A fórmula para isso é:
Onde
representa o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da probabilidade binomial, temos:
Simplificando, já que
, a fórmula fica:
Resposta
A probabilidade de observar exatamente
caras em
lançamentos de uma moeda honesta é: