Um lote de componentes eletrônicos contém 20 itens, dos quais 5 são defeituosos. Seleciona-se ao acaso uma amostra de 3 itens. Calcule a probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso se
a) a amostragem é feita com reposição;
b) a amostragem é feita sem reposição;
a) a amostragem é feita com reposição;
b) a amostragem é feita sem reposição;
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um lote com 20 componentes eletrônicos, dos quais 5 são defeituosos. Queremos selecionar 3 itens desse lote e calcular a probabilidade de que, nessa seleção, haja no máximo um item defeituoso. Isso significa que podemos ter 0 ou 1 defeituoso na amostra. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade, especificamente probabilidade com reposição e sem reposição.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) onde a amostragem é feita com reposição. Isso significa que, depois de selecionar um item, ele é colocado de volta no lote antes da próxima seleção. Assim, a probabilidade de pegar um defeituoso ou não defeituoso permanece a mesma em cada escolha.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de selecionar um item não defeituoso. Como há 20 itens no total e 5 são defeituosos, então há 15 não defeituosos. A probabilidade de pegar um não defeituoso é:
E a probabilidade de pegar um defeituoso é:
Passo 4
Queremos a probabilidade de no máximo um defeituoso em 3 tentativas. Isso inclui dois cenários:
- Nenhum defeituoso na amostra.
- Um defeituoso na amostra.
Vamos calcular cada um separadamente e depois somar as probabilidades.
Passo 5
Caso 1: Nenhum defeituoso.
Isso significa que todas as 3 escolhas são não defeituosas. A probabilidade disso acontecer é:
Passo 6
Caso 2: Um defeituoso.
Aqui, queremos que exatamente uma das 3 escolhas seja defeituosa, e as outras duas sejam não defeituosas. Além disso, isso pode acontecer de diferentes maneiras (por exemplo, defeituoso na primeira, segunda ou terceira escolha). Vamos calcular a probabilidade de cada caso e depois somar.
A probabilidade de um defeituoso em uma posição específica e não defeituoso nas outras duas é:
Como há 3 posições diferentes onde o defeituoso pode aparecer, multiplicamos por 3:
Passo 7
Agora, somamos as probabilidades dos dois casos para obter a probabilidade total de ter no máximo um defeituoso:
Resposta
A probabilidade de que a amostra contenha no máximo um item defeituoso, quando a amostragem é feita com reposição, é
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