Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
f(x)=cc cx^-c-1, & x >= 1 0, para quaisquer outros valores de x
a) Mostre que f(x) é, de fato, uma função densidade;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função densidade de probabilidade, que é usada para descrever a distribuição de uma variável aleatória contínua. Nossa função é:
f(x) = c x^-c-1, & para x >= 1 0, & para outros valores de x
Vamos precisar verificar se essa função realmente é uma função densidade (parte a)) e então encontrar a função de distribuição acumulada (parte b)).

Passo 2

Primeiro, para mostrar que $ f(x) $ é uma função densidade, temos que garantir duas coisas:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral total igual a 1: A área sob a curva de $ f(x) $ deve ser 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições.

Passo 3

1. Não-negatividade:
Olha só a função:
  • Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = c x^{-c-1} $. Como $ c > 0 $ (tipicamente, para que a função faça sentido como densidade) e $ x^{-c-1} $ também é positivo para $ x \geq 1 $, então $ f(x) \geq 0 $.
  • Para outros $ x $, $ f(x) = 0 $, que também é não negativo.
Então, a primeira condição está ok!

Passo 4

2. Integral total igual a 1:
Precisamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $:
f(x)
Vamos resolver essa integral para garantir que ela seja igual a 1.

Passo 5

Calculando a Integral:
A integral que temos é:
integral1^+infty c x^-c-1 dx
Vamos resolver passo a passo:
  1. Integrar $ x^{-c-1} $:
A integral de $ x^{k} $ é $ \frac{x^{k+1}}{k+1} $, desde que $ k \neq -1 $.
Aqui, $ k = -c -1 $, então:
x^-c-1
  1. Multiplicar pelo coeficiente $ c $:
x^k
  1. Avaliar de 1 a $ +\infty $:
x^k+1k+1
Então, a integral total é 1, como queríamos!

Passo 6

Com isso, mostramos que $ f(x) $ satisfaz as duas condições necessárias para ser uma função densidade de probabilidade: é não negativa e a integral total é 1.

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) e encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $.
A função de distribuição acumulada é definida como:
F(x)
Vamos calcular isso para nossa função $ f(x) $.

Passo 8

Calculando $ F(x) $:
Vamos dividir em casos, dependendo do valor de $ x $:
  1. Para $ x < 1 $:
Como $ f(t) = 0 $ para $ t < 1 $, então:
F(x)
  1. Para $ x \geq 1 $:
Aqui, a integral fica de 1 até $ x $:
x
Vamos calcular essa integral.

Passo 9

Calculando a Integral para $ x \geq 1 $:
Já vimos que:
x >= 1
Então, avaliando de 1 até $ x $:
integral c t^-c-1 dt = -t^-c + C

Resposta

Portanto, a função de distribuição acumulada $ F(x) $ é:
F(x)

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