Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
a) Mostre que
é, de fato, uma função densidade;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função densidade de probabilidade, que é usada para descrever a distribuição de uma variável aleatória contínua. Nossa função é:
Vamos precisar verificar se essa função realmente é uma função densidade (parte a)) e então encontrar a função de distribuição acumulada (parte b)).
Passo 2
Primeiro, para mostrar que $ f(x) $ é uma função densidade, temos que garantir duas coisas:
- Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
- Integral total igual a 1: A área sob a curva de $ f(x) $ deve ser 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições.
Passo 3
1. Não-negatividade:
Olha só a função:
- Para $ x \geq 1 $, $ f(x) = c x^{-c-1} $. Como $ c > 0 $ (tipicamente, para que a função faça sentido como densidade) e $ x^{-c-1} $ também é positivo para $ x \geq 1 $, então $ f(x) \geq 0 $.
- Para outros $ x $, $ f(x) = 0 $, que também é não negativo.
Então, a primeira condição está ok!
Passo 4
2. Integral total igual a 1:
Precisamos calcular a integral de $ f(x) $ de $ -\infty $ a $ +\infty $:
Vamos resolver essa integral para garantir que ela seja igual a 1.
Passo 5
Calculando a Integral:
A integral que temos é:
Vamos resolver passo a passo:
- Integrar $ x^{-c-1} $:
A integral de $ x^{k} $ é $ \frac{x^{k+1}}{k+1} $, desde que $ k \neq -1 $.
Aqui, $ k = -c -1 $, então:
- Multiplicar pelo coeficiente $ c $:
- Avaliar de 1 a $ +\infty $:
Então, a integral total é 1, como queríamos!
Passo 6
Com isso, mostramos que $ f(x) $ satisfaz as duas condições necessárias para ser uma função densidade de probabilidade: é não negativa e a integral total é 1.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) e encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $.
A função de distribuição acumulada é definida como:
Vamos calcular isso para nossa função $ f(x) $.
Passo 8
Calculando $ F(x) $:
Vamos dividir em casos, dependendo do valor de $ x $:
- Para $ x < 1 $:
Como $ f(t) = 0 $ para $ t < 1 $, então:
- Para $ x \geq 1 $:
Aqui, a integral fica de 1 até $ x $:
Vamos calcular essa integral.
Passo 9
Calculando a Integral para $ x \geq 1 $:
Já vimos que:
Então, avaliando de 1 até $ x $:
Resposta
Portanto, a função de distribuição acumulada $ F(x) $ é: