Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição acumulada:
Determine a P(X=0 mid X é par);
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja igual a 0, dado que $ X $ é um número par. A matéria envolvida aqui é Probabilidade Condicional, e para resolver isso, vamos precisar entender a função de distribuição acumulada da $ X $ e utilizar a fórmula da probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulada $ F(x) $ que nos foi dada. Ela nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a determinado valor $ x $. Para variáveis aleatórias discretas, a probabilidade de $ X $ assumir um valor específico $ k $ é dada por:
F(x)
onde $ F(k^-) $ é o valor da função de distribuição acumulada logo antes de $ k $.
Passo 3
Vamos calcular as probabilidades individuais para cada valor de $ X $:
Para $ X = 0 $:
X
Para $ X = 1 $:
X = 0
Para $ X = 2 $:
P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = 12 - 0 = 12
Para $ X = 3 $:
X = 1
Para $ X = 4 $:
P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 35 - 12 = 110
Passo 4
Agora, vamos identificar quais desses valores são pares. Os números pares aqui são 0, 2 e 4. Então, a probabilidade de $ X $ ser par é:
X é
Vamos somar essas frações. Colocando todas com denominador 10: