Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)= 0, & se x<0 1 / 2, & se 0 <= x<1 3 / 5 & se 1 <= x<2 4 / 5, & se 2 <= x<3 9 / 10, & se 3 <= x<4 1, & se x >= 4
Determine a P(X=0 mid X é par);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja igual a 0, dado que $ X $ é um número par. A matéria envolvida aqui é Probabilidade Condicional, e para resolver isso, vamos precisar entender a função de distribuição acumulada da $ X $ e utilizar a fórmula da probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de distribuição acumulada $ F(x) $ que nos foi dada. Ela nos diz a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a determinado valor $ x $. Para variáveis aleatórias discretas, a probabilidade de $ X $ assumir um valor específico $ k $ é dada por:
F(x)
onde $ F(k^-) $ é o valor da função de distribuição acumulada logo antes de $ k $.

Passo 3

Vamos calcular as probabilidades individuais para cada valor de $ X $:
  • Para $ X = 0 $:
    X
  • Para $ X = 1 $:
    X = 0
  • Para $ X = 2 $:
    P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = 12 - 0 = 12
  • Para $ X = 3 $:
    X = 1
  • Para $ X = 4 $:
    P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = 35 - 12 = 110

Passo 4

Agora, vamos identificar quais desses valores são pares. Os números pares aqui são 0, 2 e 4. Então, a probabilidade de $ X $ ser par é:
X é
Vamos somar essas frações. Colocando todas com denominador 10:
P(X é par) = P(X = 0) + P(X = 2) + P(X = 4) = 12 + 15 + 110
Então:
12 = 510, 15 = 210, 110 = 110 é

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de $ X = 0 $ dado que $ X $ é par. A fórmula da probabilidade condicional é:
X = 0 éé
Substituindo os valores que já encontramos:
X é

Resposta

A probabilidade de $ X = 0 $ dado que $ X $ é par é $ \frac{5}{8} $.

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