Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade é dada por:
f(x)=c / x^3, x >= 1
Obtenha:
a) o valor da constante c;
b) a probabilidade de X ser maior que 2 ;
c) a função de distribuição acumulada de X;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade $ f(x) = \frac{c}{x^{3}} $ para $ x \geq 1 $. Vamos precisar dos conceitos de funções de densidade, integrais e funções de distribuição acumulada para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

Para encontrar o valor da constante $ c $ (parte a), precisamos lembrar que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Isso porque a probabilidade total de $ X $ assumir qualquer valor é 1.
Então, temos:
c
Vamos resolver essa integral para encontrar $ c $.
Integrando $ \frac{1}{x^{3}} $:
X
Aplicando os limites de $ 1 $ a $ \infty $:
integral1^infty cx^3 , dx = 1
Igualando a 1:
c

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser maior que 2 (parte b). Isso significa que precisamos encontrar $ P(X > 2) $.
Sabemos que:
X
Já que $ c = 2 $, substituímos e resolvemos a integral:
P(X > 2)
Aplicando os limites de 2 a $ \infty $:
P(X > 2) = integral2^infty f(x) , dx = integral2^infty 2x^3 , dx
Então, $ P(X > 2) = \frac{1}{4} $.

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a função de distribuição acumulada de $ X $ (parte c), que é $ F(x) = P(X \leq x) $.
Para $ x \geq 1 $:
X
Resolvendo a integral:
F(x) = P(X <= x)
Aplicando os limites de 1 a $ x $:
x >= 1

Resposta

a) A constante $ c $ vale 2.
b) A probabilidade de $ X $ ser maior que 2 é $ \frac{1}{4} $.
c) A função de distribuição acumulada de $ X $ é $ F(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} $ para $ x \geq 1 $.

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