Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade é dada por:
Obtenha:
a) o valor da constante c;
b) a probabilidade de X ser maior que 2 ;
c) a função de distribuição acumulada de X;
a) o valor da constante c;
b) a probabilidade de X ser maior que 2 ;
c) a função de distribuição acumulada de X;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua $ X $ com a função densidade $ f(x) = \frac{c}{x^{3}} $ para $ x \geq 1 $. Vamos precisar dos conceitos de funções de densidade, integrais e funções de distribuição acumulada para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Para encontrar o valor da constante $ c $ (parte a), precisamos lembrar que a integral da função densidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Isso porque a probabilidade total de $ X $ assumir qualquer valor é 1.
Então, temos:
Vamos resolver essa integral para encontrar $ c $.
Integrando $ \frac{1}{x^{3}} $:
Aplicando os limites de $ 1 $ a $ \infty $:
Igualando a 1:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de $ X $ ser maior que 2 (parte b). Isso significa que precisamos encontrar $ P(X > 2) $.
Sabemos que:
Já que $ c = 2 $, substituímos e resolvemos a integral:
Aplicando os limites de 2 a $ \infty $:
Então, $ P(X > 2) = \frac{1}{4} $.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a função de distribuição acumulada de $ X $ (parte c), que é $ F(x) = P(X \leq x) $.
Para $ x \geq 1 $:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de 1 a $ x $:
Resposta
a) A constante $ c $ vale 2.
b) A probabilidade de $ X $ ser maior que 2 é $ \frac{1}{4} $.
c) A função de distribuição acumulada de $ X $ é $ F(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} $ para $ x \geq 1 $.