Um lote contém 40 peças boas (B) e 20 peças defeituosas (D). Uma peça é escolhida ao acaso e, sem reposição desta, outra peça é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade das duas peças serem defeituosas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O lote tem \,40\, peças boas e \,20\, peças defeituosas, portanto o total é \,60\, peças.
  • Retira-se uma peça ao acaso e, sem repor, retira-se uma segunda peça ao acaso.
    A pergunta é: qual a probabilidade de que as duas peças retiradas sejam defeituosas?

Passo 2

Vamos resolver usando a regra da probabilidade condicional para eventos dependentes. Esta regra diz que, para dois eventos A e B,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Aqui:
  • P(A\cap B) é a probabilidade de que ambas ocorram (as duas peças sejam defeituosas).
  • P(A) é a probabilidade do primeiro evento (a primeira peça ser defeituosa).
  • P(B\mid A) é a probabilidade do segundo evento dado que o primeiro ocorreu (a segunda peça ser defeituosa sabendo que a primeira foi defeituosa).
Explicando de forma simples: como não há reposição, a segunda retirada depende do resultado da primeira — por isso usamos a probabilidade condicional.

Passo 3

Calcular P(\text{1ª peça defeituosa})ªç. Há \,20\, defeituosas entre \,60\, peças, então
P(\text{1ª defeituosa})=\frac{20}{60}=\frac{1}{3}.ª
Justificativa: ao escolher a primeira peça ao acaso, a chance de pegar uma defeituosa é o número de defeituosas dividido pelo total.

Passo 4

Calcular P(\text{2ª defeituosa}\mid\text{1ª defeituosa})ªª. Se a primeira foi defeituosa, sobram \,19\, defeituosas e o total passa a ser \,59\,. Logo
P(\text{2ª defeituosa}\mid\text{1ª defeituosa})=\frac{19}{59}.ªª
Explicação: sem reposição, os contadores mudam após a primeira retirada.

Passo 5

Aplicar a fórmula multiplicativa:
P(\text{ambas defeituosas})=P(\text{1ª defeituosa})\cdot P(\text{2ª defeituosa}\mid\text{1ª defeituosa}) =\frac{1}{3}\cdot\frac{19}{59}=\frac{19}{177}.ªªª
Fazendo uma aproximação numérica,
\frac{19}{177}\approx0{,}1073\approx10{,}73\%.

Passo 6

Verificação alternativa (método combinatório / hipergeométrico) — só para reforçar a ideia:
  • Número de maneiras de escolher 2 defeituosas dentre 20: \binom{20}{2}=\dfrac{20\cdot19}{2}.
  • Número de maneiras de escolher 2 peças quaisquer dentre 60: \binom{60}{2}=\dfrac{60\cdot59}{2}.
    Assim a probabilidade é
\frac{\binom{20}{2}}{\binom{60}{2}}=\frac{20\cdot19}{60\cdot59}=\frac{19}{177},
que coincide com o resultado anterior. Comentário prático: escolha a abordagem que lembrar mais rápido na prova — multiplicação com condicional é direta; combinação dá uma checagem elegante.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: a probabilidade é relativamente baixa, pouco mais de 10\%. Regra rápida para identificar o método em questões semelhantes:
  • Se for sem reposição, use probabilidade condicional ou a fórmula hipergeométrica.
  • Se for com reposição, os eventos são independentes e basta multiplicar as probabilidades individuais.
Força aí — você já tem a técnica correta para qualquer questão parecida!

Resposta

\dfrac{19}{177}\approx0{,}1073\approx10{,}73\%

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