A urna A tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna B tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna C tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade da bola ser:
vermelha?
vermelha?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há três urnas; cada urna tem as seguintes bolas:
- Urna A:
bolas vermelhas e brancas. - Urna B:
bolas vermelhas e brancas. - Urna C:
bolas vermelhas, brancas e amarelas.
- Urna A:
- Uma urna é selecionada ao acaso (isto é, todas as urnas têm a mesma chance de serem escolhidas).
- De dentro da urna escolhida, extrai-se uma bola ao acaso (todas as bolas da urna têm a mesma chance).
O enunciado pede: qual a probabilidade da bola extraída ser vermelha?
Passo 2
Vou explicar a ideia e a fórmula que vamos usar (passo a passo, bem mastigado).
Quando um experimento tem duas etapas em que a segunda depende da primeira (a urna escolhida e depois a bola retirada), a probabilidade do evento final (a bola ser vermelha) pode ser obtida somando as probabilidades condicionais multiplicadas pela probabilidade da etapa inicial. Em símbolos:
O que esses símbolos significam:
-
é a probabilidade total de tirar uma bola vermelha no processo inteiro. -
representa qual urna foi escolhida; o somatório percorre . -
é a probabilidade de escolher a urna . -
é a probabilidade de tirar uma bola vermelha dado que a urna escolhida foi .
Aqui, como a urna é escolhida “ao acaso” entre três urnas, temos
Agora vamos calcular cada
: dentro de uma urna, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é simplesmente o número de bolas vermelhas dividido pelo total de bolas dessa urna.
Passo 3
Calcular as probabilidades condicionais
para cada urna:
-
Urna A: total de bolas
. Assim -
Urna B: total de bolas
. Assim -
Urna C: total de bolas
. Assim
Expliquei cada razão: número de vermelhas dividido pelo total na urna.
Passo 4
Agora aplico a fórmula da soma ponderada (lei da probabilidade total). Substituindo
e os condicionais que encontramos:
Vou simplificar termo a termo:
Somando:
Para somar, uso denominador comum
:
Simplificando a fração, divido numerador e denominador por
:
Como verificação decimal,
Passo 5
Interpretação rápida (para você ter segurança na prova): a probabilidade final
significa que, se repetísse o procedimento muitas vezes (escolher uma urna aleatoriamente e tirar uma bola), em média cerca de
das vezes a bola seria vermelha. O procedimento usado (peso pela probabilidade da urna) é padrão quando há etapas condicionais — decorre diretamente da fórmula que apresentei.
Força aí — essa conta é rápida na prova: calcule as três razões dentro das urnas, multiplique por
e some; simplifique a fração.