A urna A tem 3 bolas vermelhas e 4 brancas, a urna B tem 2 bolas vermelhas e 6 brancas e a urna C tem 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas. Uma urna é selecionada ao acaso e dela é extraída uma bola, também ao acaso. Qual a probabilidade da bola ser:
vermelha?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há três urnas; cada urna tem as seguintes bolas:
    • Urna A: 3 bolas vermelhas e 4 brancas.
    • Urna B: 2 bolas vermelhas e 6 brancas.
    • Urna C: 5 bolas vermelhas, 2 brancas e 3 amarelas.
  • Uma urna é selecionada ao acaso (isto é, todas as urnas têm a mesma chance de serem escolhidas).
  • De dentro da urna escolhida, extrai-se uma bola ao acaso (todas as bolas da urna têm a mesma chance).
O enunciado pede: qual a probabilidade da bola extraída ser vermelha?

Passo 2

Vou explicar a ideia e a fórmula que vamos usar (passo a passo, bem mastigado).
Quando um experimento tem duas etapas em que a segunda depende da primeira (a urna escolhida e depois a bola retirada), a probabilidade do evento final (a bola ser vermelha) pode ser obtida somando as probabilidades condicionais multiplicadas pela probabilidade da etapa inicial. Em símbolos:
P(\text{vermelha}) = \sum_{U\in\{A,B,C\}} P(U)\,P(\text{vermelha}\mid U).
O que esses símbolos significam:
  • P(\text{vermelha}) é a probabilidade total de tirar uma bola vermelha no processo inteiro.
  • U representa qual urna foi escolhida; o somatório percorre U=A,B,C.
  • P(U) é a probabilidade de escolher a urna U.
  • P(\text{vermelha}\mid U) é a probabilidade de tirar uma bola vermelha dado que a urna escolhida foi U.
Aqui, como a urna é escolhida “ao acaso” entre três urnas, temos
P(A)=P(B)=P\text{(C)}=\frac{1}{3}.
Agora vamos calcular cada P(\text{vermelha}\mid U): dentro de uma urna, a probabilidade de tirar uma bola vermelha é simplesmente o número de bolas vermelhas dividido pelo total de bolas dessa urna.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais P(\text{vermelha}\mid U) para cada urna:
  • Urna A: total de bolas 3+4=7. Assim
    P(\text{vermelha}\mid A)=\frac{3}{7}.
  • Urna B: total de bolas 2+6=8. Assim
    P(\text{vermelha}\mid B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
  • Urna C: total de bolas 5+2+3=10. Assim
    P(\text{vermelha}\mid C)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
Expliquei cada razão: número de vermelhas dividido pelo total na urna.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da soma ponderada (lei da probabilidade total). Substituindo P(U)=\tfrac{1}{3} e os condicionais que encontramos:
P(\text{vermelha})=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}.
Vou simplificar termo a termo:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{7},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}.
Somando:
P(\text{vermelha})=\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}.
Para somar, uso denominador comum 84:
\frac{1}{7}=\frac{12}{84},\quad \frac{1}{12}=\frac{7}{84},\quad \frac{1}{6}=\frac{14}{84}.
\frac{12}{84}+\frac{7}{84}+\frac{14}{84}=\frac{33}{84}.
Simplificando a fração, divido numerador e denominador por 3:
\frac{33}{84}=\frac{11}{28}.
Como verificação decimal,
\frac{11}{28}\approx 0,392857\ldots

Passo 5

Interpretação rápida (para você ter segurança na prova): a probabilidade final 11/28 significa que, se repetísse o procedimento muitas vezes (escolher uma urna aleatoriamente e tirar uma bola), em média cerca de 39{,}3\% das vezes a bola seria vermelha. O procedimento usado (peso pela probabilidade da urna) é padrão quando há etapas condicionais — decorre diretamente da fórmula que apresentei.
Força aí — essa conta é rápida na prova: calcule as três razões dentro das urnas, multiplique por 1/3 e some; simplifique a fração.

Resposta

\dfrac{11}{28}\approx0,392857

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