Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas 00,01,02,03, \ldots, 99. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
Um terno

Passo 1

O enunciado diz que da lista de dezenas 00,01,\dots,99 (ou seja, 100 dezenas) são sorteadas 5 dezenas distintas. Um apostador escolhe 10 dezenas. A pergunta é: qual é a probabilidade dele fazer um terno?
Informações fornecidas (resumidas):
  • Universo de dezenas: 100 dezenas.
  • Número de dezenas sorteadas: 5.
  • Número de dezenas escolhidas pelo apostador: 10.
  • “Terno” aqui significa acertar exatamente 3 das 5 dezenas sorteadas (ou seja, interseção com as 10 escolhidas tem tamanho 3).

Passo 2

Entendimento combinatorial (contagem de casos possíveis):
  • Para calcular probabilidades em sorteios onde todas as combinações são igualmente prováveis, a estratégia é contar quantos resultados favoráveis existem e dividir pelo número total de resultados possíveis.
  • O número total de resultados possíveis (todas as maneiras de sortear 5 dezenas dentre 100) é o número de combinações de 100 elementos tomados de 5 em 5. Isso se escreve \binom{100}{5}.
Explicação do símbolo \binom{n}{k}:
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k objetos distintos entre n sem considerar ordem.
  • Fórmula: \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}.
  • Aqui, \displaystyle \binom{100}{5}=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96}{5!}.

Passo 3

Contagem dos casos favoráveis (acertar exatamente 3 das 5 dezenas sorteadas):
  • Para que o apostador acerte exatamente 3 dezenas, entre as 5 dezenas sorteadas devem estar exatamente 3 das 10 que ele escolheu e as outras 2 sorteadas devem vir das 90 dezenas que ele não escolheu.
  • O número de maneiras de escolher quais 3 das 10 escolhidas aparecem é \displaystyle \binom{10}{3}.
  • O número de maneiras de escolher quais 2 dentre as 90 não escolhidas aparecem é \displaystyle \binom{90}{2}.
  • Como essas escolhas são independentes (escolher as 3 corretas e escolher as 2 incorretas), o número total de resultados favoráveis é \displaystyle \binom{10}{3}\binom{90}{2}.

Passo 4

Fórmula final da probabilidade:
  • A probabilidade pedida é
\text{Probabilidade}=\frac{\displaystyle \binom{10}{3}\binom{90}{2}}{\displaystyle \binom{100}{5}}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \binom{10}{3} e \displaystyle \binom{90}{2} explicitamente (passo a passo, sem pular contas):
  • \displaystyle \binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=\frac{720}{6}=120.
  • \displaystyle \binom{90}{2}=\frac{90\cdot89}{2}=\frac{8010}{2}=4005.
  • Portanto o numerador é 120\cdot4005. Calculando:
120\cdot4005=120\cdot4000+120\cdot5=480000+600=480600.

Passo 6

Calcular \displaystyle \binom{100}{5} passo a passo:
  • Pela fórmula,
\binom{100}{5}=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96}{5!}=\frac{100\cdot99\cdot98\cdot97\cdot96}{120}.
  • Calcule o produto do numerador:
100\cdot99=9900,
9900\cdot98=970200,
970200\cdot97=94\,109\,400,
94\,109\,400\cdot96=9\,034\,502\,400.
  • Agora divida por 120:
\frac{9\,034\,502\,400}{120}=75\,287\,520.
  • Logo \displaystyle \binom{100}{5}=75\,287\,520.

Passo 7

Colocar tudo junto e simplificar:
  • A probabilidade é
\frac{480600}{75\,287\,520}.
  • Podemos simplificar dividindo ambos por 60:
\frac{480600}{75\,287\,520}=\frac{8\,010}{1\,254\,792}.
  • Dividindo novamente por 6:
\frac{8\,010}{1\,254\,792}=\frac{1\,335}{209\,132}.
  • Verificamos que \gcd(1335,209132)=1, então a fração está irredutível.

Passo 8

Dar também a aproximação decimal (para intuir a probabilidade):
  • Calculando a divisão,
\frac{1\,335}{209\,132}\approx 0{,}0063817.
  • Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 0{,}638\% (ou seja, pouco mais de seis décimos de um por cento).

Resposta

\displaystyle \frac{\binom{10}{3}\binom{90}{2}}{\binom{100}{5}}=\frac{1335}{209132}\approx0{,}0063817

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