Na loteria são sorteados 5 dezenas distintas dentre as dezenas
. Um apostador escolhe 10 dezenas. Determine a probabilidade dele fazer:
Um terno
Um terno
Passo 1
O enunciado diz que da lista de dezenas
(ou seja,
dezenas) são sorteadas
dezenas distintas. Um apostador escolhe
dezenas. A pergunta é: qual é a probabilidade dele fazer um terno?
Informações fornecidas (resumidas):
- Universo de dezenas:
dezenas. - Número de dezenas sorteadas:
. - Número de dezenas escolhidas pelo apostador:
. - “Terno” aqui significa acertar exatamente
das dezenas sorteadas (ou seja, interseção com as escolhidas tem tamanho ).
Passo 2
Entendimento combinatorial (contagem de casos possíveis):
- Para calcular probabilidades em sorteios onde todas as combinações são igualmente prováveis, a estratégia é contar quantos resultados favoráveis existem e dividir pelo número total de resultados possíveis.
- O número total de resultados possíveis (todas as maneiras de sortear
dezenas dentre ) é o número de combinações de elementos tomados de em . Isso se escreve .
Explicação do símbolo
:
-
é o número de maneiras de escolher objetos distintos entre sem considerar ordem. - Fórmula:
. - Aqui,
.
Passo 3
Contagem dos casos favoráveis (acertar exatamente
das
dezenas sorteadas):
- Para que o apostador acerte exatamente
dezenas, entre as dezenas sorteadas devem estar exatamente das que ele escolheu e as outras sorteadas devem vir das dezenas que ele não escolheu. - O número de maneiras de escolher quais
das escolhidas aparecem é . - O número de maneiras de escolher quais
dentre as não escolhidas aparecem é . - Como essas escolhas são independentes (escolher as
corretas e escolher as incorretas), o número total de resultados favoráveis é .
Passo 4
Fórmula final da probabilidade:
- A probabilidade pedida é
Passo 5
Calcular
e
explicitamente (passo a passo, sem pular contas):
-
-
- Portanto o numerador é
. Calculando:
Passo 6
Calcular
passo a passo:
- Pela fórmula,
- Calcule o produto do numerador:
- Agora divida por
:
- Logo
Passo 7
Colocar tudo junto e simplificar:
- A probabilidade é
- Podemos simplificar dividindo ambos por
:
- Dividindo novamente por
:
- Verificamos que
, então a fração está irredutível.
Passo 8
Dar também a aproximação decimal (para intuir a probabilidade):
- Calculando a divisão,
- Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
(ou seja, pouco mais de seis décimos de um por cento).