Louis de Broglie em 1924 sugeriu que qualquer partícula viajando com um momentum
deve ter associado um comprimento de onda dado pela relação de de Broglie. Estime o comprimento de onda de elétrons que foram acelerados do repouso por uma diferença de potencial de
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o comprimento de onda de de Broglie de elétrons que foram acelerados do repouso por uma diferença de potencial de
.
Informações dadas (explicitadas):
(ou seja,
).
Os elétrons partem do repouso e são acelerados por essa diferença de potencial.
Informações dadas (explicitadas):
Os elétrons partem do repouso e são acelerados por essa diferença de potencial.
Passo 2
O que a relação de de Broglie diz (a peça central do problema):
A cada partícula com momento linear associa-se um comprimento de onda dado por
A cada partícula com momento linear
onde
é a constante de Planck. Aqui
é o comprimento de onda que queremos achar e
é o momento do elétron após a aceleração.
Passo 3
Como obter o momento
a partir da aceleração por uma diferença de potencial? (a física por trás)
Quando um elétron com carga é acelerado por uma diferença de potencial
, ele ganha energia cinética igual a
. Ou seja,
Quando um elétron com carga
onde
é a energia cinética final em joules,
é a carga do elétron e
é a diferença de potencial em volts. Aqui usamos a conservação da energia: o trabalho da força elétrica transforma-se em energia cinética.
Passo 4
Relacionando energia cinética e momento (aproximação não-relativística):
Para velocidades não relativísticas, a energia cinética e o momento estão relacionados por
Para velocidades não relativísticas, a energia cinética e o momento estão relacionados por
onde
é a massa do elétron. Desta equação obtemos o momento
Vamos mais adiante: substituindo em
obtemos a fórmula prática
Comentário importante: devemos checar se a aproximação não-relativística é válida. A energia fornecida é
=
, bem menor que a energia de repouso do elétron (
), então a aproximação não-relativística é adequada. Depois eu faço uma verificação numérica rápida da velocidade para confirmar.
Passo 5
Vamos listar os valores numéricos das constantes que usamos (explicitando unidades):
e
.
Observação sobre unidades: , então
em joules é
.
Observação sobre unidades:
Passo 6
Calculemos a energia cinética em joules:
Passo 7
Agora calculemos
(o argumento dentro da raiz):
Primeiro o produto numérico aproximado:
Agora a raiz quadrada (isto dá
dentro da raiz, resultando em
):
Passo 8
Com
em mãos, aplicamos a relação de Broglie:
Em unidades mais comuns para escalas atômicas:
Passo 9
Verificação rápida da validade da aproximação não-relativística (conforto psicológico):
A velocidade aproximada é :
A velocidade aproximada é
Comparando com a velocidade da luz
,
ou seja, bem abaixo de
, portanto a aproximação não-relativística é perfeitamente aceitável para uma estimativa.