Louis de Broglie em 1924 sugeriu que qualquer partícula viajando com um momentum p deve ter associado um comprimento de onda dado pela relação de de Broglie. Estime o comprimento de onda de elétrons que foram acelerados do repouso por uma diferença de potencial de 1,00 \mathrm{kV}.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o comprimento de onda de de Broglie de elétrons que foram acelerados do repouso por uma diferença de potencial de 1,00\\ \mathrm{kV}.
Informações dadas (explicitadas):
\,V=1,00\\ \mathrm{kV} (ou seja, \,V=1000\\ \mathrm{V}).
Os elétrons partem do repouso e são acelerados por essa diferença de potencial.

Passo 2

O que a relação de de Broglie diz (a peça central do problema):
A cada partícula com momento linear \,p associa-se um comprimento de onda dado por
\lambda=\frac{h}{p},
onde \,h é a constante de Planck. Aqui \lambda é o comprimento de onda que queremos achar e p é o momento do elétron após a aceleração.

Passo 3

Como obter o momento p a partir da aceleração por uma diferença de potencial? (a física por trás)
Quando um elétron com carga e é acelerado por uma diferença de potencial \,V, ele ganha energia cinética igual a eV. Ou seja,
K = eV,
onde K é a energia cinética final em joules, e é a carga do elétron e V é a diferença de potencial em volts. Aqui usamos a conservação da energia: o trabalho da força elétrica transforma-se em energia cinética.

Passo 4

Relacionando energia cinética e momento (aproximação não-relativística):
Para velocidades não relativísticas, a energia cinética e o momento estão relacionados por
K=\frac{p^{2}}{2m},
onde m é a massa do elétron. Desta equação obtemos o momento
p=\sqrt{2mK}=\sqrt{2m(eV)}.
Vamos mais adiante: substituindo em \lambda=h/p obtemos a fórmula prática
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m e V}}.
Comentário importante: devemos checar se a aproximação não-relativística é válida. A energia fornecida é 1{,}00\\ \mathrm{kV} = 1000\\ \mathrm{eV}, bem menor que a energia de repouso do elétron ( \sim 511\\ \mathrm{keV}), então a aproximação não-relativística é adequada. Depois eu faço uma verificação numérica rápida da velocidade para confirmar.

Passo 5

Vamos listar os valores numéricos das constantes que usamos (explicitando unidades):
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e \,V=1000\\ \mathrm{V}.
Observação sobre unidades: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}, então eV em joules é e\cdot V.

Passo 6

Calculemos a energia cinética em joules:
K=eV=1{,}602176634\times10^{-19}\times1000 =1{,}602176634\times10^{-16}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Agora calculemos 2m e V (o argumento dentro da raiz):
2m e V = 2 \times 9{,}10938356\times10^{-31}\times 1{,}602176634\times10^{-16}.
Primeiro o produto numérico aproximado:
2m e V \approx 2{,}91896749\times10^{-46}\\ \mathrm{(kg^2\cdot m^2/s^2)}.
Agora a raiz quadrada (isto dá p^{2} dentro da raiz, resultando em p):
p=\sqrt{2m e V}\approx\sqrt{2{,}91896749\times10^{-46}} \approx 1{,}708\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 8

Com p em mãos, aplicamos a relação de Broglie:
\lambda=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{1{,}708\times10^{-23}} \approx 3{,}88\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais comuns para escalas atômicas:
\lambda\approx 3{,}88\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=0{,}0388\\ \mathrm{nm}=38{,}8\\ \mathrm{pm}.

Passo 9

Verificação rápida da validade da aproximação não-relativística (conforto psicológico):
A velocidade aproximada é v=p/m:
v\approx\frac{1{,}708\times10^{-23}}{9{,}10938356\times10^{-31}}\approx 1{,}88\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Comparando com a velocidade da luz c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
\frac{v}{c}\approx0{,}063\\ (6{,}3\%),
ou seja, bem abaixo de c, portanto a aproximação não-relativística é perfeitamente aceitável para uma estimativa.

Resposta

\lambda\approx 3{,}88\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

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