Uma partícula de massa
se move num campo de força central dado por
, onde
e
é uma constante positiva. Mostre que dependendo do valor da energia
da partícula, órbitas limitadas e não limitadas são possíveis.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informações fornecidas:
- A força é central e radial, dada por
, com e . - A partícula tem massa
. - A energia total da partícula é
(número real qualquer).
- A força é central e radial, dada por
- Pergunta que devemos responder:
- Mostrar que, dependendo do valor de
, existem órbitas limitadas e órbitas não limitadas.
- Mostrar que, dependendo do valor de
- Observação: o enunciado não pede uma solução numérica específica; pede a classificação qualitativa das órbitas em termos de
(e, quando necessário, em termos do momento angular).
Passo 2
Conservação do momento angular e definição de
.
- Porque a força é central (aponta radialmente para o mesmo ponto), o momento angular em módulo é conservado. Vou chamar o módulo do momento angular de
. - Definição e significado:
é o momento angular escalar (módulo) e vale
onde
é a distância ao centro e
é a derivada temporal do ângulo polar
. Isso significa que
é constante ao longo do movimento.
- Intuição: a conservação de
impede que a partícula simplesmente caia radially sem girar (a não ser que ). O termo com age como uma “barreira centrífuga” quando estudarmos a energia radial.
Passo 3
Energia total e expressão da energia radial com potencial efetivo.
- A energia total
da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial. Em coordenadas polares, a energia cinética separa-se em parte radial e parte angular:
- Usando
podemos escrever a parte angular como . - Assim a energia total fica
onde
é o potencial associado a
. A interpretação física é: a dinâmica radial é a de uma partícula unidimensional de coordenada
com energia cinética
e potencial efetivo
.
Passo 4
Encontrar o potencial
a partir da força dada.
- A relação entre força radial e potencial é
. Como , temos
- Integrando em
,
- Normalmente escolhemos a constante de referência
fazendo . Então
- Interpretação: esse é o potencial tipo “gravitação/newtoniano” atraente; é negativo e tende a
quando .
Passo 5
Definir e interpretar o potencial efetivo
.
- Substituindo
na expressão da energia, introduzimos o potencial efetivo
- Significado físico dos dois termos:
-
é a “energia centrífuga” que cresce para (cria uma barreira que impede colisão se ). -
é a atração que fica muito negativa para pequeno e tende a quando .
-
- A equação radial se reescreve como
Isto mostra que os raios de virada (turning points) onde
são as soluções de
. Entre dois raios de virada a partícula oscila radialmente (órbita limitada em
); se não houver solução de
com
arbitrariamente grande, então a partícula não alcança o infinito e está limitada; se por outro lado para
a quantidade
permanece positiva, a partícula pode escapar para infinito (órbita não limitada).
Passo 6
Análise qualitativa de
nos extremos
e
.
- Comportamento quando
: - O termo centrífugo domina:
(se ). Logo quando .
- O termo centrífugo domina:
- Comportamento quando
: - Ambos os termos tendem a zero, mas o potencial atrativo tende para
. Então quando .
- Ambos os termos tendem a zero, mas o potencial atrativo tende para
- Consequência qualitativa:
- Para
, tem um valor muito grande positivo perto de e aproxima-se de por baixo quando . Portanto a curva de possui tipicamente um mínimo em algum . Isso significa que existe um poço efetivo; se a energia ficar dentro desse poço (abaixo de zero, dependendo do mínimo), a partícula fica confinada entre duas soluções de .
- Para
Passo 7
Localizar o mínimo de
(órbita circular) e verificar estabilidade.
- Derivando
e igualando a zero para achar pontos estacionários:
- Resolvendo para
obtemos o raio do ponto estacionário (denotado ):
- Esse
corresponde a uma órbita circular (pois e ). - Valor de
no mínimo (energia da órbita circular): - Calcular
. Primeiramente
- Então
e portanto - Calcular
- Verificação de estabilidade: segunda derivada
Substituindo
e usando
dá um valor positivo, logo
é um mínimo e a órbita circular é estável (pequenas perturbações em
resultam em oscilações em torno de
).
Passo 8
Determinar condições em
para órbitas limitadas e não limitadas.
- Limite em
: . Logo comparar com é crucial para saber se a partícula pode escapar para infinito. - Possibilidades:
-
: - Como
para , se então para grande teremos (pois está próximo de ), logo a equação não permite para suficientemente grande. Portanto a partícula não pode alcançar : ela fica confinada entre dois raios de virada finitos (ou, no caso limite, pode atingir o centro se ). Conclusão: para a órbita é limitada (tipicamente elíptica no problema de Kepler).
- Como
-
: - Para energias iguais a zero, ao ir para
tem-se muito pequeno e a partícula pode chegar ao infinito com velocidade radial tendendo a zero: isso corresponde a uma órbita marginalmente não limitada (parabólica, no contexto das seções cônicas).
- Para energias iguais a zero, ao ir para
-
: - Aqui para
temos , então existe energia suficiente para que a partícula alcance com velocidade finita positiva. Conclusão: para a órbita é não limitada (a partícula escapa ao infinito; no contexto clássico são órbitas hiperbólicas).
- Aqui para
-
- Comentário sobre
exatamente igual a : - Se
a partícula descreve precisamente a órbita circular estável de raio .
- Se
- Caso especial
: - Se
(movimento puramente radial) o termo centrífugo desaparece e . A energia limite para escapar continua a ser . Para a partícula fica limitada em superior (não alcança infinito) mas pode cair arbitrariamente próximo ao centro porque não há barreira centrífuga; isso normalmente leva a colisão com o centro em tempo finito. Portanto a classificação em termos de (E<0 limitado; E>=0 não limitado) permanece válida para a possibilidade de escapar para infinito, com a ressalva do comportamento singular no centro quando .
- Se
Passo 9
Interpretação final (conexão com formas das órbitas).
- Em linguagem geométrica conhecida: para a força
as trajetórias são seções cônicas (quando resolvidas analiticamente): se as órbitas são elipses (limitadas); se são parábolas (marginalmente não limitadas); se são hipérboles (não limitadas). A presença de momento angular determina o semieixo e a posição da órbita, e o raio circular estável está em com energia .
Resposta
Para
: órbitas limitadas (tipicamente elípticas);\
Para : órbitas marginalmente não limitadas (parabólicas);\
Para : órbitas não limitadas (hiperbólicas).\
Além disso, existe uma órbita circular estável em com energia
.
Para
Para
Além disso, existe uma órbita circular estável em