Uma partícula de massa m se move num campo de força central dado por \vec{F}(r)= -\left(\gamma / r^{2}\right) \hat{r}, onde \hat{r}=\vec{r} / r e \gamma é uma constante positiva. Mostre que dependendo do valor da energia E da partícula, órbitas limitadas e não limitadas são possíveis.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informações fornecidas:
    • A força é central e radial, dada por \vec{F}(r)= -\left(\gamma / r^{2}\right)\hat{r}, com \hat{r}=\vec{r}/r e \gamma>0.
    • A partícula tem massa m.
    • A energia total da partícula é E (número real qualquer).
  • Pergunta que devemos responder:
    • Mostrar que, dependendo do valor de E, existem órbitas limitadas e órbitas não limitadas.
  • Observação: o enunciado não pede uma solução numérica específica; pede a classificação qualitativa das órbitas em termos de E (e, quando necessário, em termos do momento angular).

Passo 2

Conservação do momento angular e definição de L.
  • Porque a força é central (aponta radialmente para o mesmo ponto), o momento angular em módulo é conservado. Vou chamar o módulo do momento angular de L.
  • Definição e significado: L é o momento angular escalar (módulo) e vale
L = m r^{2}\dot{\theta},
onde r é a distância ao centro e \dot{\theta} é a derivada temporal do ângulo polar \theta. Isso significa que L é constante ao longo do movimento.
  • Intuição: a conservação de L impede que a partícula simplesmente caia radially sem girar (a não ser que L=0). O termo com L age como uma “barreira centrífuga” quando estudarmos a energia radial.

Passo 3

Energia total e expressão da energia radial com potencial efetivo.
  • A energia total E da partícula é a soma da energia cinética e da energia potencial. Em coordenadas polares, a energia cinética separa-se em parte radial e parte angular:
T=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\dot{\theta}^{2}.
  • Usando L=m r^{2}\dot{\theta} podemos escrever a parte angular como \dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}}.
  • Assim a energia total fica
E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}+V(r),
onde V(r) é o potencial associado a \vec{F}(r). A interpretação física é: a dinâmica radial é a de uma partícula unidimensional de coordenada r com energia cinética \tfrac{1}{2}m\dot r^{2} e potencial efetivo V_{\rm eff}(r)=\dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}}+V(r).

Passo 4

Encontrar o potencial V(r) a partir da força dada.
  • A relação entre força radial e potencial é \vec{F}(r)=-\dfrac{dV}{dr}\hat{r}. Como \vec{F}(r)= -\dfrac{\gamma}{r^{2}}\hat{r}, temos
-\frac{dV}{dr} = -\frac{\gamma}{r^{2}}.
  • Integrando em r,
\frac{dV}{dr}=\frac{\gamma}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad V(r)=-\frac{\gamma}{r}+C.
  • Normalmente escolhemos a constante de referência C=0 fazendo V(\infty)=0. Então
V(r)=-\frac{\gamma}{r}.
  • Interpretação: esse é o potencial tipo “gravitação/newtoniano” atraente; é negativo e tende a 0 quando r\to\infty.

Passo 5

Definir e interpretar o potencial efetivo V_{\rm eff}(r).
  • Substituindo V(r) na expressão da energia, introduzimos o potencial efetivo
V_{\rm eff}(r)=\frac{L^{2}}{2 m r^{2}}-\frac{\gamma}{r}.
  • Significado físico dos dois termos:
    • \dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}} é a “energia centrífuga” que cresce para r\to 0 (cria uma barreira que impede colisão se L\neq0).
    • -\dfrac{\gamma}{r} é a atração que fica muito negativa para r pequeno e tende a 0 quando r\to\infty.
  • A equação radial se reescreve como
\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}=E-V_{\rm eff}(r).
Isto mostra que os raios de virada (turning points) onde \dot r=0 são as soluções de E=V_{\rm eff}(r). Entre dois raios de virada a partícula oscila radialmente (órbita limitada em r); se não houver solução de E=V_{\rm eff}(r) com r arbitrariamente grande, então a partícula não alcança o infinito e está limitada; se por outro lado para r\to\infty a quantidade E-V_{\rm eff}(r) permanece positiva, a partícula pode escapar para infinito (órbita não limitada).

Passo 6

Análise qualitativa de V_{\rm eff}(r) nos extremos r\to0 e r\to\infty.
  • Comportamento quando r\to 0:
    • O termo centrífugo domina: \dfrac{L^{2}}{2 m r^{2}}\to +\infty (se L\neq0). Logo V_{\rm eff}(r)\to +\infty quando r\to0.
  • Comportamento quando r\to\infty:
    • Ambos os termos tendem a zero, mas o potencial atrativo tende para 0^{-}. Então V_{\rm eff}(r)\to 0^{-} quando r\to\infty.
  • Consequência qualitativa:
    • Para L\neq 0, V_{\rm eff}(r) tem um valor muito grande positivo perto de r=0 e aproxima-se de 0 por baixo quando r\to\infty. Portanto a curva de V_{\rm eff}(r) possui tipicamente um mínimo em algum r=r_{0}>0. Isso significa que existe um poço efetivo; se a energia E ficar dentro desse poço (abaixo de zero, dependendo do mínimo), a partícula fica confinada entre duas soluções de E=V_{\rm eff}(r).

Passo 7

Localizar o mínimo de V_{\rm eff}(r) (órbita circular) e verificar estabilidade.
  • Derivando V_{\rm eff} e igualando a zero para achar pontos estacionários:
\frac{dV_{\rm eff}}{dr} = -\frac{L^{2}}{m r^{3}}+\frac{\gamma}{r^{2}} =0.
  • Resolvendo para r obtemos o raio do ponto estacionário (denotado r_{0}):
\gamma = \frac{L^{2}}{m r_{0}}\quad\Rightarrow\quad r_{0}=\frac{L^{2}}{m\gamma}.
  • Esse r_{0} corresponde a uma órbita circular (pois \dot r=0 e \ddot r=0).
  • Valor de V_{\rm eff} no mínimo (energia da órbita circular):
    • Calcular V_{\rm eff}(r_{0}). Primeiramente
    r_{0}^{2}=\frac{L^{4}}{m^{2}\gamma^{2}}.
    • Então
    \frac{L^{2}}{2 m r_{0}^{2}}=\frac{m\gamma^{2}}{2L^{2}},\qquad \frac{\gamma}{r_{0}}=\frac{m\gamma^{2}}{L^{2}},e portanto V_{\rm eff}(r_{0})=\frac{m\gamma^{2}}{2L^{2}}-\frac{m\gamma^{2}}{L^{2}}=-\frac{m\gamma^{2}}{2L^{2}}.
  • Verificação de estabilidade: segunda derivada
\frac{d^{2}V_{\rm eff}}{dr^{2}}=\frac{3L^{2}}{m r^{4}}-\frac{2\gamma}{r^{3}}.
Substituindo r_{0} e usando \gamma=\dfrac{L^{2}}{m r_{0}} dá um valor positivo, logo r_{0} é um mínimo e a órbita circular é estável (pequenas perturbações em r resultam em oscilações em torno de r_{0}).

Passo 8

Determinar condições em E para órbitas limitadas e não limitadas.
  • Limite em r\to\infty: V_{\rm eff}(r)\to 0^{-}. Logo comparar E com 0 é crucial para saber se a partícula pode escapar para infinito.
  • Possibilidades:
    1. E<0:
      • Como V_{\rm eff}(r)\to 0^{-} para r\to\infty, se E<0 então para r grande teremos E-V_{\rm eff}(r)<0 (pois V_{\rm eff} está próximo de 0^{-}), logo a equação \tfrac{1}{2}m\dot r^{2}=E-V_{\rm eff}(r) não permite \dot r^{2}\ge0 para r suficientemente grande. Portanto a partícula não pode alcançar r\to\infty: ela fica confinada entre dois raios de virada finitos (ou, no caso limite, pode atingir o centro se L=0). Conclusão: para E<0 a órbita é limitada (tipicamente elíptica no problema de Kepler).
    2. E=0:
      • Para energias iguais a zero, ao ir para r\to\infty tem-se E-V_{\rm eff}(r)\approx 0 - 0^{-}>0 muito pequeno e a partícula pode chegar ao infinito com velocidade radial tendendo a zero: isso corresponde a uma órbita marginalmente não limitada (parabólica, no contexto das seções cônicas).
    3. E>0:
      • Aqui para r\to\infty temos E-V_{\rm eff}(r)\to E>0, então existe energia suficiente para que a partícula alcance r\to\infty com velocidade finita positiva. Conclusão: para E>0 a órbita é não limitada (a partícula escapa ao infinito; no contexto clássico são órbitas hiperbólicas).
  • Comentário sobre E exatamente igual a V_{\rm eff}(r_{0})=-\dfrac{m\gamma^{2}}{2L^{2}}:
    • Se E=V_{\rm eff}(r_{0}) a partícula descreve precisamente a órbita circular estável de raio r_{0}.
  • Caso especial L=0:
    • Se L=0 (movimento puramente radial) o termo centrífugo desaparece e V_{\rm eff}(r)=V(r)=-\dfrac{\gamma}{r}. A energia limite para escapar continua a ser E\ge 0. Para E<0 a partícula fica limitada em r superior (não alcança infinito) mas pode cair arbitrariamente próximo ao centro porque não há barreira centrífuga; isso normalmente leva a colisão com o centro em tempo finito. Portanto a classificação em termos de E (E<0 limitado; E>=0 não limitado) permanece válida para a possibilidade de escapar para infinito, com a ressalva do comportamento singular no centro quando L=0.

Passo 9

Interpretação final (conexão com formas das órbitas).
  • Em linguagem geométrica conhecida: para a força -\gamma/r^{2} as trajetórias são seções cônicas (quando resolvidas analiticamente): se E<0 as órbitas são elipses (limitadas); se E=0 são parábolas (marginalmente não limitadas); se E>0 são hipérboles (não limitadas). A presença de momento angular L determina o semieixo e a posição da órbita, e o raio circular estável está em r_{0}=\dfrac{L^{2}}{m\gamma} com energia E=-\dfrac{m\gamma^{2}}{2L^{2}}.

Resposta

Para E<0: órbitas limitadas (tipicamente elípticas);\
Para E=0: órbitas marginalmente não limitadas (parabólicas);\
Para E>0: órbitas não limitadas (hiperbólicas).\
Além disso, existe uma órbita circular estável em r_{0}=\dfrac{L^{2}}{m\gamma} com energia E= -\dfrac{m\gamma^{2}}{2L^{2}}.

Exercícios relacionados