Lucas é cliente fiel da padaria do seu bairro e sempre compra três itens lá, sempre em quantidades diferentes: pão francês, presunto e queijo. Esses itens são vendidos por quilo e ele costuma anotar a massa de cada um, assim como o preço total da compra. Para descobrir o preço do quilo de cada item, ele elaborou a matriz M em que as quantidades de pão, presunto e queijo foram escritas na primeira, segunda e terceira colunas, respectivamente, e na quarta coluna estāo os preços de cada compra.
M=\left[\begin{array}{llll} 0,5 & 0,3 & 0,4 & 17,6 \\\\ 0,8 & 0,5 & 0,2 & 19,7 \\\\ 1,0 & 0,2 & 0,4 & 20,4 \end{array}\right]
Os preços do quilo do pão francês, do presunto e do queijo, nessa ordem, são dados pela terna ordenada
A) (9,17,20)
B) (9,20,17)
C) (17,9,20)
D) (17,20,9)
E) (20,17,9)

Passo 1

O enunciado dá três compras de pão francês, presunto e queijo, com as massas (m_{i1},m_{i2},m_{i3}) na i-ésima compra e o preço total T_i. Queremos os preços por quilo de pão (p), presunto (h) e queijo (q). Isso gera um sistema linear de três equações e três incógnitas, que vamos resolver por eliminação.

Passo 2

Escrevendo as equações a partir de
0,5p + 0,3h + 0,4q = 17,6,
0,8p + 0,5h + 0,2q = 19,7,
1,0p + 0,2h + 0,4q = 20,4,
multiplicamos cada equação por 10 para eliminar as vírgulas:
5p + 3h + 4q = 176,
8p + 5h + 2q = 197,
10p + 2h + 4q = 204.

Passo 3

Eliminamos q formando duas equações em p e h:
  • Fazendo 2\times(\text{segunda}) - (\text{terceira}):
16p + 10h + 4q \;-\;(10p+2h+4q) = 394 - 204
6p + 8h = 190 \quad\Longrightarrow\quad 3p + 4h = 95.
  • Fazendo (\text{terceira}) - (\text{primeira}):
(10p+2h+4q) - (5p+3h+4q) = 204 - 176
5p - h = 28.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 3p + 4h = 95,\\\\ 5p - h = 28, \end{cases}
da segunda equação h = 5p - 28. Substituindo na primeira:
3p + 4(5p - 28) = 95 \;\Longrightarrow\; 3p + 20p - 112 = 95 \;\Longrightarrow\; 23p = 207 \;\Longrightarrow\; p = 9.
Logo h = 5\cdot9 - 28 = 17.

Passo 5

Substituímos p=9 e h=17 em 5p+3h+4q=176:
5\cdot9 + 3\cdot17 + 4q = 176 \;\Longrightarrow\; 45 + 51 + 4q = 176 \;\Longrightarrow\; 4q = 80 \;\Longrightarrow\; q = 20.

Resposta

A) (9,17,20)

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