Luciana tem notas de 2 reais, ela tem notas de 5 reais e ela tem notas de 10 reais, totalizando 200 reais. Ao todo ela possui 34 notas. O que podemos dizer da quantidade de notas que Luciana possui de cada um desses valores?
Passo 1
O enunciado quer saber quantas notas de R$, R$ e R$ Luciana tem, sabendo que o total de notas é e o valor total é R$ . O conteúdo matemático é resolução de um sistema de equações lineares inteiro (equações diofantinas).
Passo 2
Sejam número de notas de R$ número de notas de R$ número de notas de R$
As condições traduzem-se em
Passo 3
Da primeira equação temos x=34-y-z. Substituindo na segunda:
2(34-y-z)+5y+10z=200
68-2y-2z+5y+10z=200
3y+8z=132
Passo 4
Para 3y+8z=132 ser inteira, precisamos de 8zequiv132pmod3. Como 8equiv2pmod3 e 132equiv0pmod3, segue 2zequiv0pmod3, logo zequiv0pmod3. Escrevemos z=3k.
Passo 5
Substituindo z=3k em 3y+8z=132 dá
y=132-8cdot3k3=44-8k
E então
x=34-y-z=34-(44-8k)-3k=5k-10
Como x,y,z>=0, temos
5k-10>=0implies k>=2, 44-8k>=0implies k<=5.5,
e k inteiro, logo k=2,3,4,5.
Passo 6
Para cada kin2,3,4,5 obtemos as soluções: k=2:;(x,y,z)=(0,28,6) k=3:;(x,y,z)=(5,20,9) k=4:;(x,y,z)=(10,12,12) k=5:;(x,y,z)=(15,4,15)
Resposta
As possíveis quantidades de notas são, respectivamente (notas de R$ (2), R, R$ 5, R$ 10):
(0, 28, 6), (5, 20, 9), (10, 12, 12) ou (15, 4, 15).