O lugar geométrico dos pontos em R^2 equidistantes às retas de equações
4 x+3 y-2=0 e 12 x-16 y+5=0
é
(A) 4 x+28 y+13=0
(B) 8 x-7 y-13=0
(C) 28 x-4 y-3=0
(D) 56 x^2+388 x y-184 x-56 y^2-16 y+19=0
(E) 112 x^2+768 x y-376 x-112 y^2-32 y+39=0

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância até a reta
4x+3y-2=0
é igual à distância até a reta
12x-16y+5=0
O conteúdo usado aqui é a fórmula da distância de um ponto (x,y) à reta Ax+By+C=0, que é
|Ax+By+C|raizA^2+B^2

Passo 2

Escrevemos a igualdade das distâncias:
|4x+3y-2|raiz4^2+3^2 = |12x-16y+5|raiz12^2+(-16)^2
Como raiz4^2+3^2=5 e raiz12^2+(-16)^2=20, temos
|4x+3y-2|5=|12x-16y+5|20 Longrightarrow 4,|4x+3y-2|=|12x-16y+5|
Para eliminar valores absolutos, elevamos ao quadrado:
16,(4x+3y-2)^2=(12x-16y+5)^2

Passo 3

Calculamos cada quadrado separadamente.
(4x+3y-2)^2 =16x^2+24xy-16x+9y^2-12y+4
(12x-16y+5)^2 =144x^2-384xy+120x+256y^2-160y+25
Multiplicando o primeiro por 16, obtemos
16,(4x+3y-2)^2 =256x^2+384xy-256x+144y^2-192y+64

Passo 4

Igualando e passando tudo para o lado esquerdo:
256x^2+384xy-256x+144y^2-192y+64 -l(144x^2-384xy+120x+256y^2-160y+25r)=0
Agrupando termos semelhantes obtemos
112x^2+768xy-376x-112y^2-32y+39=0

Passo 5

Comparando com as alternativas, vemos que o polinômio é exatamente o da opção (E):
112x^2+768xy-376x-112y^2-32y+39=0

Resposta

(E)

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