A luz de uma estrela próxima apresenta um desvio para o azul de 2 %, isto é, f obs =1,02 f0. A estrela está se aproximando ou se afastando da Terra? Qual é a velocidade da estrela? (Suponha que a direção do movimento é a da reta que liga a estrela à Terra.)

Passo 1

O enunciado diz que uma estrela apresenta desvio para o azul de 2 %, ou seja, a frequência observada satisfaz
fobs = 1,02,f0,
onde f0 é a frequência emitida em repouso. O conteúdo é o efeito Doppler relativístico para onda eletromagnética em movimento radial. Vamos precisar da fórmula que relaciona fobs/f0 com a velocidade radial v da estrela.

Passo 2

Em relatividade especial, para uma fonte que se aproxima de um observador, o fator de correção de frequência é
fobsf0 = raiz1 + beta1 - beta com beta = vc
Se a fonte se afasta, trocamos v por -v e fobs<f0. Aqui temos fobs>f0, sinal de aproximação.

Passo 3

Igualando a expressão ao valor dado, obtemos
1,02 = raiz1 + beta1 - beta
Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
(1,02)^2 = 1 + beta1 - beta Longrightarrow 1,0404 = 1 + beta1 - beta

Passo 4

Resolvendo em beta:
1,0404,(1 - beta) = 1 + beta Longrightarrow 1,0404 - 1,0404,beta = 1 + beta
1,0404 - 1 = beta + 1,0404,beta Longrightarrow 0,0404 = beta,(1 + 1,0404)
beta = 0,04042,0404 approx 0,0198
Portanto
v = beta,c approx 0,0198,c approx 0,0198times 3times10^5,km/s approx 5,94times10^3,km/s

Passo 5

Como fobs>f0, trata-se de desvio para o azul, logo a estrela está se aproximando da Terra.

Resposta

A estrela está se aproximando, com velocidade de aproximadamente 5,94times10^3,km/s.

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