l x1^prime(t)=-2 x1(t)+x2(t) x2^prime(t)=-5 x1(t)+4 x2(t)
a. X(t)=e^-3 t[l1 1] é uma solução do sistema
b. X(t)=e^t[l1 1] é uma solução do sistema
c. X(t)=e^-t[l1 1] é uma solução do sistema
d. X(t)=e^-2 t[l1 1] é uma solução do sistema
e. X(t)=e^2 t[l1 1] é uma solução do sistema

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1'(t) = -2,x1(t) + x2(t), x2'(t) = -5,x1(t) + 4,x2(t),
e pergunta qual dos vetores da forma X(t)=e^lambda t11 é solução. O conteúdo aqui é encontrar autovalores e autovetores da matriz de coeficientes para um sistema linear homogêneo.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial , onde
Para o palpite com , basta que

Passo 3

Calculamos
A,11 = -2cdot1 + 1cdot1 -5cdot1 + 4cdot1 = -1-1 = -1 11

Passo 4

Da equação A,v=lambda,v obtemos lambda=-1. Logo a única forma compatível com v=(1,1)^T é
X(t)=e^-t11

Passo 5

Comparando com as alternativas, apenas a letra (c) apresenta o fator e^-t.

Resposta

c

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