(M) Um anel circular fino, isolante, de raio R possui uma carga Q uniformemente distribuída sobre seu comprimento.
(a) Calcule o potencial elétrico produzido pelo anel para um ponto ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel e que passa por seu centro, a uma distância z do centro.
(b) Obtenha o vetor campo elétrico nesse mesmo ponto.
(c) Uma partícula puntiforme de massa m e carga q, de mesmo sinal que Q, encontra-se em movimento ao longo do eixo do anel, em direção ao seu centro. Sabendo que sua velocidade inicial, quando ela está infinitamente afastada do anel, vale v0, qual será a menor distância entre a partícula e o centro do anel?

Passo 1

O enunciado trata de um anel de raio R com carga total Q uniformemente distribuída (densidade linear lambda = Q/(2pi R)).
Conteúdo: potencial e campo elétrico no eixo do anel e aplicação de conservação de energia mecânica para uma carga q que se aproxima com velocidade inicial v0 de z=infty. Para resolver precisamos:
  • Calcular o potencial elétrico V(z) a uma distância z do centro, no eixo do anel.
  • Obter o campo E(z) via E=-nabla V.
  • Aplicar conservação de energia entre z=infty e o ponto de menor aproximação zmin.

Passo 2

Para V(z), considere um elemento de carga dQ=lambda,R,dtheta a uma distância raizR^2+z^2 do ponto do eixo. Usando
V(z)=integral 14pivarepsilon0,dQraizR^2+z^2
temos raizR^2+z^2 constante no denominador e integral dQ=Q. Logo, definindo
k equiv 14pivarepsilon0,
obtém-se
V(z) = k,QraizR^2+z^2

Passo 3

O campo no eixo tem só componente z. Usando
Ez(z) = -dVdz = -k,Q,ddzl(R^2+z^2r)^-1/2 = k,Q,zl(R^2+z^2r)^3/2
Em vetor, tomando o eixo +z saindo do anel,
E(z) = Ez(z),z = k,Q,zl(R^2+z^2r)^3/2;z

Passo 4

Para a partícula de massa m e carga q, use conservação de energia entre z=infty (onde V(infty)=0 e energia cinética Tinfty=tfrac12 m v0^2) e o ponto de retorno zmin (onde a velocidade se anula):
12 m v0^2 + q,V(infty) = 0 + q,V(zmin)
Como V(infty)=0,
12 m v0^2 = q,k,QraizR^2+zmin^2
Chame A = q,k,Q. Então
raizR^2+zmin^2 = 2Am,v0^2
Isolando zmin:
zmin = raizl(2q,k,Qm,v0^2r)^!2 - R^2

Resposta

(a) V(z)=14pivarepsilon0,QraizR^2+z^2
(b) E(z) =14pivarepsilon0,Q,z(R^2+z^2)^3/2;z
(c) A menor distância zmin satisfaz
12 m v0^2 = q,14pivarepsilon0,QraizR^2+zmin^2,
ou seja
zmin = raizl(2,q,Q4pivarepsilon0,m,v0^2r)^!2-R^2

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