Se m é um inteiro ímpar, mostre que é divisível por 12.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a expressão m^2 + (m+2)^2 + (m+4)^2 + 1 é múltipla de 12 sempre que m for inteiro ímpar. O conteúdo principal envolve manipulação algébrica (expansão e fatoração) e argumento por aritmética modular (módulo 4 e módulo 3).

Passo 2

Primeiro, expandimos e somamos os termos quadráticos:
m^2 + (m+2)^2 + (m+4)^2 + 1 = m^2 + (m^2 + 4m +4) + (m^2 + 8m +16) +1
Agrupando termos semelhantes, obtemos:
3m^2 + (4m + 8m) + (4 + 16 +1) = 3m^2 +12m +21
Agora, fatoramos esse resultado em um múltiplo de 3:
3m^2 +12m +21 = 3l(m^2 + 4m +7r)
Observando que m^2 + 4m +7 = (m+2)^2 + 3, podemos escrever:
m^2 + (m+2)^2 + (m+4)^2 + 1 = 3l((m+2)^2 + 3r)

Passo 3

Para concluir que o todo é múltiplo de 12, falta mostrar que (m+2)^2 + 3 é múltiplo de 4 quando m é ímpar. Se m é ímpar, então m = 2k+1 para algum kinZ, logo m+2 = 2k+3 também é ímpar. Para qualquer inteiro ímpar n, tem-se n^2 equiv 1 pmod4. Assim:
(m+2)^2 + 3 equiv 1 + 3 = 4 equiv 0 pmod4
Portanto, (m+2)^2 + 3 é múltiplo de 4, digamos 4q. Então a expressão original vale
3 times (4q) = 12q,
que é múltiplo de 12.

Resposta

A expressão é divisível por 12 para todo inteiro ímpar m.

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