Se
é um inteiro ímpar, mostre que
é divisível por 12.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a expressão
é múltipla de 12 sempre que
for inteiro ímpar. O conteúdo principal envolve manipulação algébrica (expansão e fatoração) e argumento por aritmética modular (módulo 4 e módulo 3).
Passo 2
Primeiro, expandimos e somamos os termos quadráticos:
Agrupando termos semelhantes, obtemos:
Agora, fatoramos esse resultado em um múltiplo de 3:
Observando que
, podemos escrever:
Passo 3
Para concluir que o todo é múltiplo de 12, falta mostrar que
é múltiplo de 4 quando
é ímpar. Se
é ímpar, então
para algum
, logo
também é ímpar. Para qualquer inteiro ímpar
, tem-se
. Assim:
Portanto,
é múltiplo de 4, digamos
. Então a expressão original vale
que é múltiplo de 12.
Resposta
A expressão é divisível por 12 para todo inteiro ímpar m.