Sejam a, m e n in Z e d=(m, n). Mostre que d=(m, n+a m).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros a, m, n e definindo d = (m, n), temos d = (m, n + a m). O conteúdo aqui é propriedade do máximo divisor comum (MDC) e vamos precisar usar o fato de que adicionar um múltiplo de um argumento ao outro não altera o MDC.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de d=(m,n): por ser o MDC, d satisfaz duas condições: (i) d divide m e n; (ii) qualquer outro inteiro que divida m e n também divide d.
Mostramos primeiro que d divide m e n + a m. De fato, como d divide m e n, temos d divide a m) e, somando, d divide n + a m. Logo, d é um divisor comum de m e n + a m, o que implica que d <= (m, n+ a m).

Passo 3

Agora seja g = (m, n + a m). Pelo mesmo raciocínio, g divide m e n + a m. Mas como n = (n + a m) - a m, segue que g também divide n. Portanto, g é divisor comum de m e n, o que dá g <= (m,n) = d.
Como mostramos que d <= (m,n+am) e (m,n+am) <= d, concluímos que ambos são iguais.

Resposta

(m, n) = (m, n + a m)

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