Mostre que:
Se
são transformações lineais então
é uma transformação linear.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a soma de duas transformações lineares ainda é linear. O conteúdo aqui é propriedades de transformações lineares entre espaços vetoriais e vamos precisar usar as duas condições que definem linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Definimos a transformação
por
para todo vetor
. Note que
e
vivem em
, então sua soma também está em
, garantindo que
seja bem-definida.
Passo 3
Agora mostramos a aditividade. Para quaisquer vetores
, temos
Como
e
são lineares,
Logo,
que, por reagrupamento, é
Passo 4
Falta a homogeneidade. Para qualquer escalar
e vetor
:
Pela linearidade de
e
:
Então
Como mostramos aditividade e homogeneidade, concluímos que
é transformação linear.