Mostre que:
Se T, G: U V são transformações lineais então T+G: U V é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a soma de duas transformações lineares ainda é linear. O conteúdo aqui é propriedades de transformações lineares entre espaços vetoriais e vamos precisar usar as duas condições que definem linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Definimos a transformação (T+G):Uto V por
(T+G)(u)=T(u)+G(u),
para todo vetor uin U. Note que T(u) e G(u) vivem em V, então sua soma também está em V, garantindo que T+G seja bem-definida.

Passo 3

Agora mostramos a aditividade. Para quaisquer vetores u1,u2in U, temos
(T+G)(u1+u2)=T(u1+u2)+G(u1+u2)
Como T e G são lineares,
T(u1+u2)=T(u1)+T(u2),
G(u1+u2)=G(u1)+G(u2)
Logo,
(T+G)(u1+u2)=T(u1)+T(u2)+G(u1)+G(u2)
que, por reagrupamento, é
(T(u1)+G(u1))+(T(u2)+G(u2))=(T+G)(u1)+(T+G)(u2)

Passo 4

Falta a homogeneidade. Para qualquer escalar alpha e vetor uin U:
(T+G)(alpha u)=T(alpha u)+G(alpha u)
Pela linearidade de T e G:
T(alpha u)=alpha T(u),
G(alpha u)=alpha G(u)
Então
(T+G)(alpha u)=alpha T(u)+alpha G(u)=alphal(T(u)+G(u)r)=alpha (T+G)(u)
Como mostramos aditividade e homogeneidade, concluímos que T+G é transformação linear.

Resposta

T+G satisfaz as duas condições de linearidade (aditividade e homogeneidade), logo é uma transformação linear.

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